WisFaq!

Differentieerbaarheid

Hoi,

Ik weet dat elke functie die differentieerbaar is over (a,b), continu is over [a,b].
Maar dat niet elke functie die continu is over [a,b], differentieerbaar is over (a,b).

Maar ik heb nu een vraag over de differentieerbaarheid van een functie. In mijn boek staat de volgende opsomming van continue functies over hun domein:

Continu over hun domein:
• Polynomen
• Rationale functies
• Wortelfuncties
• Goniometrische functies
• Inverse goniometrische functies
• Exponentiele functies
• Logaritmische functies

Bestaat er ook zulke reeks voor differentieerbaarheid? Zo neen, hoe kan de differentieerbaarheid gemakkelijk nagegaan worden?

Groetjes
Lene

Lene
3-10-2016

Antwoord

Je eerste bewering klopt niet: definieer $f$ op $[0,1]$ door $f(x)=1$ als $x\in(0,1)$ en $f(0)=f(1)=0$. Dan is $f$ differentieerbaar op $(0,1)$ maar niet continu op $[0,1]$.
Wat de lijst betreft: is in je boek ook netjes bewezen dat al die functies continu zijn op hun (natuurlijke) domeinen? Als niet, hoe weet je dan zeker dat die functies continu zijn?
Als je lijsten vertrouwt kun je dezelfde lijst als uit je boek gebruiken, met het voorbehoud dat je differentieerbaarheid op de bijbehorende open intervallen hebt, zo is $\sqrt{1-x^2}$ continu op $[-1,1]$ en differentieerbaar op $(-1,1)$.
En daarnaast heb je natuurlijk de rekenregels: sommen, producten, quotiënten, samenstellingen van differentieerbare functies zijn weer differentieerbaar.

kphart
3-10-2016