WisFaq!

Re: Re: Periodieke functie

Beste,

Na een opmerking van een medeleerling heeft de docent vanmorgen de opgave aangepast. De gegevens zijn nu als volgt:

Reuzenrad met 32 gondels die met een constante snelheid ronddraaien.
In 30 minuten doorloopt één gondel een volledige ronde
De maximale hoogte die een gondel kan bereiken, is 135 meter.
De minimale afstand tussen een gondel en de weg is 5 meter.
Op het startmoment bevindt de desbetreffende gondel zich op een hoogte van 70 meter.
Het rad draait in tegenwijzerzin.

Vraag: Na hoeveel minuten zal die gondel het hoogste punt bereiken? Los algebraïsch op.


Mijn oplossing is als volgt:

Amplitude: (135-5)/2 = 65
Centrale punt: 70
Periode: 30

Voorlopig voorschrift: y=65·sin (($\pi$/15)·(t-?)) + 70 -$\to$ C is nog onbekend

C kan bepaald worden door gebruik te maken van het startpunt (0,70). Invullen geeft:

70 = 65·sin (($\pi$/15)·(0-X)) + 70

0 = sin (($\pi$/15)·(-X))

0= ($\pi$/15)·(-X)

0= X

Het voorschrift is dus y=65·sin (($\pi$/15)· t) + 70


Maar wat als ik er voor koos om dit op te lossen door middel van een cosinusfunctie, dan blijven amplitude, centrale punt en periode gelijk, dus:
y=65·cos (($\pi$/15)·(t-?)) + 70 -$\to$ C is nog onbekend

C kan bepaald worden door gebruik te maken van het startpunt (0,70). Invullen geeft:

70 = 65·cos (($\pi$/15)·(0-X)) + 70

1 = cos (($\pi$/15)·(-X))

1= ($\pi$/15)·(-X)

-(15/$\pi$)= X

Het voorschrift is dus y=65·sin (($\pi$/15)· (t+(15/$\pi$)) + 70

Maar dat klopt TOTAAL niet. Het snijpunt met de Y-as is fout, maar ook daalt de functie na x=0, terwijl de gondels dan net stijgen.
Wat doe ik fout? :(

Lene
27-9-2016

Antwoord

Het gaat fout vlak na het invullen en wel twee keer: $1=\cos(\frac\pi{15}*(-x))$ klopt niet (de $1$ moet een $0$) zijn en de conclusie $1=\frac\pi{15}*(-X)$ die je daaruit trekt is ook fout.
Je krijgt $\cos(-\frac\pi{15}X)=0$ en daaruit volgt $-\frac\pi{15}X=\frac\pi2+k\pi$ (met $k\in\mathbb{Z}$. Omdat je vanaf $t=0$ omhoog gaat moet je zorgen dat $-\frac\pi{15}X=-\frac\pi2$, dus $X=\frac{15}2$.

kphart
28-9-2016