WisFaq!

Bewijzen van een formule

Ik loop vast bij een opdracht over het bewijzen van de formule van een somrij van een rekenkundige rij. In de opdracht wordt een formule geven om het aantal zwarte hokjes in een vierkant uit te rekenen. De zwarte hokjes moeten telkens de rand van het vierkant worden, terwijl het middendeel wit moet blijven (dus bij een vierkant van 3x3 zijn 8 hokjes zwart en het middelste hokje niet, bij 4x4 zijn 12 hokjes zwart en de middelste vier niet). Hiermee ben ik al tot het een en ander gekomen:
a(n) = 4n-4, en de formule begint vanaf a(3) = 8

Vervolgens wordt uitgelegd dat de O-vormen van oneven grootte in elkaar passen (lees: de 9 hokjes (8 gekleurd, middelste niet) van 3x3 passen in het ''lege''deel van de 5x5. Dit gaat zo door tot een grootte van (2n+1)x(2n+1) hokjes.
Voor de som a(3) + a(5) + a(7) + ... + a(2n+1) wordt een formule gevraagd. Ik kwam uit op de formule: 4n^2 - 4n.

Dan wordt er gevraagd om te bewijzen dat deze formule klopt door gebruik te maken van de regel die hoort bij de som van een rekenkundige rij en dit is waar ik vastloop.
Ik dacht zelf dat ik gebruik moest maken van: 0,5 · (n+1) · (a(0) + a(n)) maar hierbij kom ik niet op dezelfde formule uit. Ik vroeg me ook af of ik wel a(0) moet gebruiken, omdat de formule pas lijkt te werken vanaf a(3).

Wanneer de opdracht die ik probeer uit te leggen te vaag klinkt zou ik nog een afbeelding kunnen sturen die het wat duidelijker maakt.

Anoniem
21-9-2016

Antwoord

Je krijgt $4n^2+4n$, met een plus dus ($(2n+1)^2-1$).
Je kunt inderdaad gebruik maken van de formule die je noemt, maar je moet eerst wel even nadenken; de formule zegt, in woorden, dat je het volgende moet hebben: $1/2$ maal het aantal termen maal de som van de eerste en de laatste.
Hier heb je $n$ termen, namelijk $a_3$, $a_5$, tot en met $a_{2n+1}$ (dat zijn er $n$), en de eerste is $a_3$ en de laatste is $a_{2n+1}$. Je moet dus hebben
$$
\frac12\times n\times(a_3+a_{2n+1})
$$
en dat komt goed uit.

kphart
22-9-2016