WisFaq!

Integreren

Hoi,

ik heb de volgende vraag gekregen: bereken k(element van R) zodat:

de integraal van k naar 2 van x³-4x = 0

Ik heb toen de formule (b^(n+1) - a^(n+1))/(n+1) toegepast en kom uit op:
-k⁴/4 + k² = 0

Hoe ga ik nu verder?

Alvast bedankt!
Sarah

• Integreren

Sarah
20-9-2016

Antwoord

Beste Sarah,

Dan gaat er toch iets mis in het rekenwerk, immers:
$$\int_k^2 x^3-4x \,\mbox{d}x = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_k^2$$Nu de grenzen invullen en vereenvoudigen levert:
$$(4-8)-\left(\tfrac{k^4}{4}-2k^2\right)=-\tfrac{k^4}{4}+2k^2-4$$Om hiervan de nulpunten te vinden kan je $t=k^2$ stellen om een kwadratische vergelijking in $t$ te krijgen, of opmerken dat:
$$-\tfrac{k^4}{4}+2k^2-4 = -\tfrac{1}{4}\left(k^2-4\right)^2$$De nulpunten zijn dan duidelijk.

Opm: als je de meetkundige betekenis van de integraal kent en opmerkt dat $f(x)=x^3-4x$ een oneven functie is, had je deze oplossing misschien ook kunnen 'voorspellen' of 'beredeneren'.

mvg,
Tom

td
20-9-2016