WisFaq!

Kwadraatafsplitsen bol

Bij calculus kregen we deze formule:

x² + 4x + y² - 2y + z² - 6z = -4

Nu was de vraag erbij of dit een formule voor een bol zou kunnen zijn. Tijdens de uitleg werd er gezegd dat je door kwadraatafsplitsen achter zou moeten komen.

Ik weet dat ik (x+2)², (x-1)² en (x-3)² moet gaan gebruiken, maar ik weet niet precies welke cijfers er dan zogenoemd afgeschreven worden.

Ik dacht aan :
(x+2)² + (x-1)² + (x-3)² = -4 -4 -1 - 9 maar ik weet niet of dit wel of niet klopt en waarom niet. Hulp zou erg fijn zijn, aangezien dit een nieuw iets voor mij.
Bij voorbaat dank!

Renée
10-9-2016

Antwoord

Zal ik het even voordoen? Hopelijk wordt het dan duidelijk...

Je kunt $x^2+4x$ schrijven als $(x+2)^2-4$. Ga maar na!
Je kunt $y^2-2y$ schrijven als $(y-1)^2-1$. Ga maar na!
Je kunt $z^2-6z$ schrijven als $(z-3)^2-9$. Ge maar na!

Als je goed kijkt dan wil ik bijvoorbeeld van $x^2+4x$ een kwadraat maken. Dat zou dan $(x+2)^2$ moeten worden, maar dat klopt niet want $(x+2)^2$ is gelijk aan $x^2+4x+4$. Dat is niet goed maar 't scheelt niet veel. Alleen die $+4$ gooit roet in het eten. Maar als ik die er vervolgens van aftrek dan klopt het precies. Snap je?

Daar komt ie:
$x^2+4x+y^2-2y+z^2-6z=-4$
$(x+2)^2-4+(y-1)^2-1+(z-3)^2-9=-4$
$(x+2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=10$
Tada!

Dit is de vergelijking van een bol met middelpunt $M(-2,1,3)$ en $r=\sqrt{10}$ en daar was het allemaal om begonnen.

Op kwadraatafsplitsen staat nog meer over kwadraatafsplitsen, maar misschien kan je er nu al verder mee.

Je kunt ook 's kijken op cirkelvergelijkingen.

WvR
10-9-2016