WisFaq!

Re: De epsilon-delta definitie van de limiet van een functie

Dank voor het snelle antwoord. Ik heb hierbij nog 2 vraagjes:

1) Hoe zou deze definitie het best in woorden, begrijpbaar uitgesproken kunnen worden? Ik vind het zo abstract...

2) Stel dat je lim x² =4 moet aantonen voor x$\to$2. Daar kom je na uitproberen terecht op |f(x)-4 |= |x²-4 |=| x+2 | · | x-2 | $<$ epsilon. Hoe loopt dat dan verder? In mijn boek voeren ze een onbekende B in om tot de waarde van Delta te komen met de woorden 'Als B$>$0 gevonden kan worden zo, dat |x+2|$<$B dan | x+2 | · | x-2 | $<$ B · | x-2 | $<$ epsilon. Daaruit volgt B · | x-2 | $<$ epsilon, dus | x-2 | $<$ epsilon/B en dus epsilon/B is gelijk aan delta. Ik kan hier totaal niet meer bij volgen. :o

groetjes

Liese Coenen
1-9-2016

Antwoord

1. Nee. Mijn ervaring is dat `in woorden, begrijpbaar' te vaak tot misverstanden leidt. Deze definitie is er niet om in twee tellen begrepen te worden maar om ondubbelzinnig te zijn (hij mag niet verkeerd begrepen worden).

2. Die uitleg in het boek is niet zo netjes (of jij hebt hem niet precies genoeg overgeschreven). De ontbinding is prima: $x^2-4=(x+2)(x-2)$ en dus $|x^2-4|=|x+2|\cdot|x-2|$. De vraag is nu voor welke $\delta$>$0$ weten we nu zeker: als $0$<$|x-2|$<$\delta$ dan $|x+2|\cdot|x-2|$<$\varepsilon$?

Inderdaad is het makkelijker als er een vaste $B$>$0$ staat in plaats van die variabele $|x+2|$; dan is $\delta=\varepsilon/B$ als gewenst, immers, dan geldt: als $0$<$|x-2|$<$\delta$ [dan] geldt $B|x-2|$<$B\cdot\varepsilon/B=\varepsilon$. Zo'n $B$ kunnen we vinden als we de $x$-en wat inperken: als $|x-2|$<$1$ dan geldt $|x+2|$<$3$ (ga maar na) en dus $|x^2-4|$<$3|x-2|$. Nu kunnen we doen wat het boek wilde doen: laat $\varepsilon$>$0$ en neem $\delta$ gelijk aan het minimum van $1$ en $\varepsilon/3$. Dan geldt: als $0$<$|x-2|$<$\delta$ dan geldt $|x^2-4|$<$3|x-2|$ (omdat $|x-2|$<$1$) en $3|x-2|$<$\varepsilon$ (omdat |x-2|$<\varepsilon/3$), en dus geldt: als $0$<$|x-2|$<$\delta$ dan $|x^2-4|$<$\varepsilon$.

kphart
1-9-2016