WisFaq!

De epsilon-delta definitie van de limiet van een functie

Hoi,

Ik zit vast bij de epsilon-delta definitie van de limiet van een functie. Ik begrijp niet goed waarom we van die definitie mogen uitgaan? Bestaat hier een bewijs van of een andere manier om de correctheid hiervan "intuītief" aan te kunnen nemen?

Groetjes en bedankt!

Liese Coenen
1-9-2016

Antwoord

Het is een definitie, daar valt niets aan te bewijzen. Het is een afspraak over de betekenis van de uitdrukking
$$
\lim_{x\to a}f(x)=L
$$en dat is:"voor elke $\varepsilon$>$0$ bestaat een $\delta$>$0$ zo dat voor elke $x$ met $0$<$|x-a|$<$\delta$ geldt $|f(x)-L|$<$\varepsilon$".
Als je dus moet aantonen dat, bijvoorbeeld,
$$
\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}=12
$$
Begin je met "zij $\varepsilon$>$0$ willekeurig", dan analyseer je de uitdrukking voor $x\neq0$ en ziet misschien dat je er $x^2+2x+4$ van kunt maken, dan ga je op zoek naar een $\delta$>$0$ met de eigenschap dat als $0$<$|x-2|$<$\delta$ dan $|x^2+2x+4-12|$<$\varepsilon$. Soms is dat niet zo moeilijk, maar vaak moet je daar moeite voor doen.

kphart
1-9-2016