WisFaq!

Vergelijking van een vlak

Bepaal de cartesiaanse vergelijking van het vlak a(alfa) door de rechte a en door de rechte b, die evenwijdig is met a, en door het punt C(-4,5,6) gaat.

a:
{x=1+2r
{y=2+0r
{z=3+3r

dank u

sarah
8-3-2003

Antwoord

Lijn a kun je schrijven als (x,y,z) = (1,2,3) + r(2,0,3)
Deze lijn moet in het bewuste vlak liggen, dus de vectorvoorstelling van het vlak kan alvast beginnen met de vorm (x,y,z) = (1,2,3) + l(2,0,3) + m(p,q,r)
Voor vector (p,q,r) moet nu nog iets gevonden worden dat als tweede richtingsvector kan dienen voor het vlak. Maar dat kan dan bijvoorbeeld de verbindingsvector zijn tussen de punten (1,2,3) en (-4,5,6), dus de vector (-5,3,3).
Een complete vectorvoorstelling van het vlak zou dus kunnen zijn: (x,y,z) = (1,2,3) + l(2,0,3) + m(-5,3,3)

Hiervan wil je nu een vergelijking maken. Afhankelijk van hetgeen je weet zou je nu het uitwendig product van de twee richtingsvectoren kunnen nemen.Dat levert na reductie van de lengte de volgende normaalvector op: (3,7,-2).
Controleer maar dat het inwendig product van deze vector met de twee richtingsvectoren van het vlak inderdaad 0 oplevert.
De vergelijking van het vlak begint nu dus als volgt: 3x + 7y - 2z = d.
De constante d vind je door een punt van het vlak in te vullen, bijvoorbeeld (1,2,3).

Als je deze aanpak langs vectoriële weg niet kent, dan moet je maar terugkeren met de vraag, want dan gaan we zoeken naar een analytischer aanpak.

MBL
8-3-2003