WisFaq!

Limiet oplossen met resultaat min oneindig

Hallo,
Ik ben mijzelf wat aan het bijschaven over limieten.
Ik zit alleen vast bij een bepaalde oefening.

$\eqalign{\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4x - 5} - \sqrt {{x^2} - 25} }}{{x - 5}}}$

Ik heb Hopital toegepast, tweeterm vermenigvuldiging gedaan. Maar ik kom geen min oneindig uit. Eigenlijk weet ik niet goed hoe ik dit zou kunnen uitkomen. Ik heb op internet wat gezocht (niet zoveel over te vinden) maar als de noemer gelijk aan nul is en de teller niet. Is dit een oneindig getal. Klopt dit? Deze foto hieronder was mijn beste resultaat, indien mijn internet opzoekwerk klopt zou de uitkomst ook kloppen. Ik vindt het dan wel vreemd dat hier zo weinig over te vinden is.

$\eqalign{\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4x - 5} }} = \frac{{ - 4}}{0}}$

Groeten

Nico
24-8-2016

Antwoord

Als je gebruikt dat x² - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) en x² - 25 = (x - 5)(x + 5), dan zie je dat je de gegeven quotiëntvorm kunt delen door √(x - 5).
Na die deling is de nieuwe teller √(x + 1) - √(x + 5) geworden en hierin is x = 5 gewoon in te vullen.
De nieuwe noemer is na de deling √(x - 5) geworden en invullen van x = 5 geeft nog steeds de waarde 0.
Wanneer x nu nadert tot 5 ( in dalende richting), dan wordt de teller een negatief getal, maar de positieve (!) noemer komt steeds dichter bij 0. En daarmee wordt het quotiënt steeds negatiever ofwel: de limiet is min-oneindig.

Dat x alleen dalend naar 5 kan en niet stijgend, volgt uit de eis dat onder de wortelvormen geen negatief getal mag ontstaan. Vul maar eens x = 4 in of x = 4,999 en zie wat er fout gaat.

MBL
24-8-2016