WisFaq!

Impliciete functiestelling

Hallo,

Ter voorbereiding van mijn examen Wiskunde moet ik de volgende vraag zien op te lossen.
2. Beschouw volgend stelsel in y1 en y2 met parameter x ∈ R: 2x+f(x,y)+y =3,
12 y1 + g(x, y2) = 4.
Hierin zijn f en g functies van R2 → R met continue parti ̈ele afgeleiden waarvan geweten is dat
D1f(u,v) $>$ 0, 1 $<$ D2f(u,v) ≤ 2, D1g(u,v) ≤ 1 en D2g(u,v) $>$ 1 voor alle (u, v) ∈ R2. Veronderstel dat het stelsel voor x = 0 een oplossing (y1∗, y2∗)

(a) Argumenteer op basis van de impliciete functiestelling dat er een open inter- val I rond 0 en een open vierkant V rond (y1∗,y2∗) bestaat zo dat het stelsel voor elke x ∈ I precies ́een oplossing (y1, y2) ∈ V heeft.

(b) Veronderstel dat je x laat toenemen (in I). Zal de corresponderende y2 dan stijgen of dalen? Argumenteer !

alvast bedankt

mkbdb
17-8-2016

Antwoord

a. Dat hoeft niet noodzakelijk, aan alle voorwaarden van de impliciete-functiestelling is voldaan, behalve misschien het inverteerbaar zijn van de matrix
$$\left(
\begin{array}{cc} D_2f(0,y_1) & 1 \\ 12 & D_2g(0,y_2)\end{array}\right)
$$
de determinant is $D_2f(0,y_1)D_2g(0,y_2)-12$ en die kan, onder de gegeven voorwaarden, best gelijk zijn aan $0$: bijvoorbeeld als $D_2f(0,y_1)=2$ en $D_2g(0,y_2)=6$. Als die determinant ongelijk aan $0$ is dan zegt de stelling inderdaad dat $y_1$ en $y_2$ nabij $0$ door het stelsel als functies van $x$ bepaald zijn.
b. De vraag is of de afgeleiden van $y_2$ ten opzichte van $x$ positief, nul of negatief is. De formule uit de impliciete-functiestelling geeft
$$
y_2'=-\frac1\Delta\bigl(-24-12D_1f(0,y_1)+D_2f(0,y_1)D_1g(0,y_2)\bigr)
$$
($\Delta$ is de determinant van hierboven.) Wat tussen haakjes staat is altijd negatief, dus het hangt van het teken van $\Delta$ af of $y_2'$ positief of negatief is.

kphart
17-8-2016