WisFaq!

Eigenwaarde inverteerbare matrix

Hallo
Het lukt mij niet volgende vraag op te lossen.
Veronderstel dat A een inverteerbare matrix is. Zij lambda een eigenwaarde van A. Toon aan dat lambda verschillend is van nul. Mag je in het algemeen besluiten dat 1/lambda een eigenwaarde is van de inverse van A. Argumenteer.
In de les had ik iets opgeschreven als volgt:
AX = lambda.X
X = A^-1 · lambda · X
X = lambda · A^-1 · X
Hieruit zou moeten blijken dat lambda niet gelijk is aan nul.
Is dit voldoende uitleg / Klopt deze uitleg?
En los ik dan de tweede bijvraag op?
MVG
Marie-Hélène

Marie-Hélène
16-8-2016

Antwoord

Uit je eigen zin "Hieruit zou moeten volgen ..." blijkt dat het niet voldoende is want dan had je "Hieruit volgt ... omdat ..." kunnen schrijven.
Wat nodig is is aan het begin opmerken dat er een $X\neq0$ is met $AX=\lambda X$. Dan kun je doen wat je deed en concluderen dat $X=\lambda A^{-1}X$. Als $\lambda$ gelijk aan $0$ zou zijn dan zou daar ook uit volgen dat $X=0$.
De tweede vraag volgt ook uit je laatste vergelijking: $\frac1\lambda X=A^{-1}X$.

kphart
16-8-2016