WisFaq!

Integreren

Hallo

Ik moet volgende oefening oplossen a.d.h.v. de vergelijkingstest:
de integraal van nul tot +oneindig van deze functie:
sinx / (e^x - 1)

Ik zoek dus een functie die voor alle x element van [0, +oneindig[ groter is dan de gegeven functie, maar ik vind geen enkele functie die convergeert!
Hoe pak ik dit aan?
MVG
Julie

• Integreren

Julie
16-8-2016

Antwoord

Als $x\ge1$ dan geldt $e^x$>$2$ en dus $e^x-1$>$\frac12e^x$. Dat betekent dat voor $x\ge1$ geldt
$$
\frac{\sin x}{e^x-1}\le\frac1{e^x-1}\le \frac2{e^x}=2e^{-x}
$$
de integraal van $e^{-x}$ convergeert.
NB De integraal is nabij $0$ niet oneigenlijk: de limeit van de functie voor $x\to0$ is gelijk aan $1$.

kphart
16-8-2016