WisFaq!

Symmetrische matrices

Hallo
Ik kreeg op het examen in juni volgende vraag.
Zij A een symmetrische nxn matrix met positieve eigenwaarden. Toon aan dat er een nxn matrix B bestaat met positieve eigenwaarden zodat A = B². Tip: begin met A als diagonaalmatrix.
Nu ben ik deze opnieuw aan het proberen maar ik kom nog steeds niet tot een antwoord voor matrix A die geen diagonaalmatrix is.
Moet ik daar specifieke eigenschappen van symmetrische matrices op toepassen? (ik meen me te herinneren dat dit niet noodzakelijk was).
Verder weet ik dat als A diagonaliseerbaar is en dus te schrijven valt als A = QDQ^-1 , dan kan je gerust schrijven A^k = QD^kQ^-1 Maar dan moet die k een natuurlijk getal zijn?
Kan iemand me helpen?
Alvast bedankt.
MVG
Julie

Julie
14-8-2016

Antwoord

De diagonaalmatrix $D$ heeft de eigenwaarden van $A$ op zijn diagonaal. Je kunt al een matrix $E$ maken met $E^2=D$; wat zou je denken van $B=Q^{-1}EQ$?

kphart
14-8-2016