WisFaq!

Het aantal malen dat een getal deelbaar is door twee voorspellen

We werken met gehele, even, getallen.
De getallen die eenzelfde aantal keer door 2 gedeeld kunnen worden doen we in een verzameling.
V is Verzameling, daarachter zetten we, als index, het aantal malen dat de getallen in deze verzameling door 2 gedeeld kunnen worden.

Zo bevatten de verschillende verzamelingen bijvoorbeeld:
V1 (2,6,10,14,18, 22,26,….) maar ook (46,..74,….954,….13578,…. 8989894,…)
V2 (4,12,20,28,36,44,52,…) maar ook (108,… 3692,… 147852,… 951147452,…)
V3 (8,24,40,56,… 136,… 9512,… 98765432,…)
V4 enz.

Bij V1 is het verschil tussen de getallen onderling steeds 4
Bij V2 is het verschil tussen de getallen onderling steeds 8
Bij V3 is het verschil tussen de getallen onderling steeds 16
Bij V4 32 enz.

We gaan rekenen met de getallen uit deze verzamelingen en dan blijkt:

Optellen

Het resultaat van de optelling van getallen uit twee ongelijke verzamelingen geeft een getal dat behoort tot de laagste verzameling van die twee.
Bijvoorbeeld: 28 (V2) + 9512 (V3) = 9540 (V2)

Het resultaat van optelling van twee getallen uit dezelfde verzameling geeft een getal uit een hogere verzameling.
Bijvoorbeeld: 8 (V3) + 136 (V3) = 144 (V4)
(dit hoeft niet de naastgelegen hogere verzameling te zijn)
Bijvoorbeeld: 8 (V3) + 56 (V3) = 64 (V6)

Aftrekken
Het werkt ook zo voor aftrekken, daarbij negeren we het teken en rekenen met het absolute verschil.

Trekken we getallen van elkaar af uit verschillende verzamelingen, dan is de uitkomst een getal dat behoort tot de laagste verzameling van die twee.
Bijvoorbeeld: 98765432 (V3) – 147852 (V2) = 98617580 (V2)

Trekken we getallen van elkaar af uit dezelfde verzameling dan is de uitkomst een getal uit een hogere verzameling.
Bijvoorbeeld: 9512 (V3) – 40 (V3) = 9472 (V8)

Vermenigvuldigen
Bij vermenigvuldigen hoort het resultaat tot de verzameling met het nummer dat verkregen wordt door de indexen van de verzamelingen op te tellen.
Of dat nu getallen zijn uit verschillende of uit dezelfde verzameling.
Bijvoorbeeld: 74(V1) * 4 (V2) = 296 (V3)
Bijvoorbeeld: 10(V1) * 26 (V1) = 260 (V2)

Delen
Bij delen komen er maar weinig hele getallen uit, hier kan ik geen wetmatigheid vinden.

Dat is allemaal leuk en aardig maar nu komen de vragen.

1. Is het bovenstaande waar ?
2. Is het bovenstaande bekend?
3. Hoe zet je het bovenstaande om in formules?

Groet en dank,

Jean-Pierre

J-P Rutte
5-8-2016

Antwoord

Hallo Jean-Pierre,

Ik heb geen idee of iemand ooit reden heeft gezien om deze wetmatigheden te beschrijven, maar met een beetje gezond verstand is e.e.a. snel af te leiden. Bedenk hiervoor het volgende:

• Alle getallen uit V1 zijn te schrijven als 2p, waarbij p een oneven getal is.
  
• Alle getallen uit V2 zijn te schrijven als 4q, ofwel 2²q, waarbij q een oneven getal is.
  
• Alle getallen uit V3 zijn te schrijven als 8q, ofwel 2³r, waarbij r een oneven getal is.
  
• Algemeen: alle getallen uit Vi zijn te schrijven als 2ⁱs, waarbij s een oneven getal is.

Nu gaan we jouw waarnemingen na (alle gebruikte variabelen zijn gehele getallen):

• Optellen van twee getallen a en b uit verschillende verzamelingen i en j, met i$<$j:
  a+b = 2ⁱp+2^jq = 2ⁱ(p+2^j-iq)
  p is oneven, 2^j-iq is even, de som tussen haakjes is dan oneven en niet deelbaar door 2. De som a+b is deelbaar door 2ⁱ, en komt dus voor in de verzameling i.
  
• Optellen van twee getallen a en b uit dezelfde verzameling i:
  a+b = 2ⁱp+2ⁱq = 2ⁱ(p+q)
  p en q zijn oneven, de som is even en dus deelbaar door 2. We kunnen p+q dan schrijven als 2r, dus a+b kan geschreven worden als 2⁽ⁱ⁺¹⁾r, en komt dus uit een hogere verzameling dan i (r kan deelbaar zijn door 2, dus de verzameling waartoe r behoort kan meer dan 1 hoger zijn dan i).
  
• Aftrekken: dezelfde redenering als bij optellen.
  
• Vermenigvuldigen van twee getallen a en b:
  a·b = 2ⁱp·2^jq = 2^i+j·pq
  p en q zijn oneven, dus pq is niet deelbaar door 2. a·b is zodoende deelbaar door 2^i+j en is hiermee afkomstig uit verzameling (i+j). Het maakt hierbij niet uit of i en j verschillend zijn of niet.
  
• Delen van twee getallen a en b:
  a/b = (2ⁱp)/(2^jq) = 2^(i-j)·p/q. Het quotiënt p/q 'kan van alles zijn', er is geen eenduidige conclusie uit welke verzameling a/b afkomstig is.

Je waarnemingen zijn dus correct, en met enige basis-rekenregels in algemene termen te beschrijven.

GHvD
5-8-2016