WisFaq!

Kwadratische vorm

Hallo
Waarom moet de matrix gelinkt aan een kwadratische vorm een symmetrische matrix zijn?
q(x1,...,xn) = (x1,...,xn)*A*(x1,...,xn)^T
is de definitie van een kwadratische vorm.
In mijn cursus staat dat A symmetrisch is. Maar ik heb eens geprobeerd een willekeurige, niet-symmetrische matrix A in te vullen in de formule en ik kom ook een kwadratische vorm uit denk ik.
Kan iemand me helpen? (evt. zie ik de definitie niet goed in?)
Alvast bedankt.

Helene
5-8-2016

Antwoord

Beste Helene,

Voor de eenvoud illustreer ik het voor een 2x2-matrix. Je kan in de formule:
$$X^TAX \; = \; \left( x , y \right)
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
$$inderdaad een willekeurige matrix $A$ invullen. Bijvoorbeeld zou de keuze:
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}$$
aanleiding geven tot de kwadratische vorm:
$$x^2+5xy+4y^2$$Maar diezelfde kwadratische vorm kan je associëren met een symmetrische matrix, namelijk:
$$A' = \begin{pmatrix}
1 & \tfrac{5}{2} \\
\tfrac{5}{2} & 4
\end{pmatrix}$$Omdat dit steeds mogelijk is (*) en omdat het (later) erg nuttig blijkt om met symmetrische matrices te kunnen werken, denk maar aan diagonalisatie en het bepalen of de matrix positief dan wel negatief (semi-)definiet is enz, kiest men ervoor om bij kwadratische vormen steeds met de bijhorende symmetrische matrix te werken.

---

(*) Merk op dat je elke matrix $A$ kan schrijven als de som van een symmetrische en een anti-symmetrische matrix, namelijk:
$$A = \underbrace{\tfrac{1}{2}\left( A+A^T \right)}_{\mbox{sym}}
+ \underbrace{\tfrac{1}{2}\left( A-A^T \right)}_{\mbox{anti-sym}}$$en ga eventueel zelf na dat het anti-symmetrische deel geen bijdrage levert aan de kwadratische vorm; het vervangen van een willekeurige matrix $A$ door zijn symmetrisch deel, verandert de geassocieerde kwadratische vorm dus niet.

mvg,
Tom

td
5-8-2016