WisFaq!

Differentiaal- en integraalrekening

Beste Wisfaq,
Ik heb 2 theoretische vragen, dus wat mij betreft hoeven ze niet gepubliceerd te worden:

1. Toename x en toename y veranderen na limietovergang in dx en dy. Plotseling wordt met dy/dx gerekend alsof het echte breuken zijn: waarom is dit toegestaan.
2. De substitutiemethode: ik kan deze in praktijk brengen, maar het omgekeerde zijn van de kettingregel ontgaat mij ten enenmale.

Bvd

jaap van der pol
21-7-2016

Antwoord

Dag Jaap,

Zodra een vraag beantwoord wordt, wordt deze nu eenmaal gepubliceerd. Zodra een antwoord gegeven wordt, is een vraag goed genoeg om gedeeld te worden (samen met het antwoord)

1)
y is een functie van x. Dus bepaal een x, en dat levert je een y. x en y staan dus met elkaar in verband. Verander x, en daarmee verandert y. Met het dy/dx principe is men geïnteresseerd in de vraag hoe zeer een y waarde verandert, op het moment de x-waarde verandert. En dat op het kleinste niveau.

In het eerste stadium is men geïnteresseerd in: Hoe verandert y, bij een bepaalde verandering van x. Dus hoe staat de verandering van y in relatie tot een verandering van x. Dus welk verschil van y is er ten opzichte van het verschil van x.... Hoe je de vraag ook stelt, het komt neer op:

(verschil van y)/(verschil van x)
= ($\Delta$y)/($\Delta$x)

Hierbij betekent $\Delta$ = delta = verschil

Zodra men geïnteresseerd is naar de kleinste verandering, dus zodra $\Delta$x naar 0 toe gaat, zou men een continue functie van de verandering kunnen uitschrijven ( = y'(x)). Die benadering naar 0 van $\Delta$x wordt dan genoteerd als dx, en zo ook wordt $\Delta$y dan genoteerd als dy. Maar het principe blijft gelijk, de verandering van y t.o.v. de verandering van x. Dus het letterlijke deelsommetje blijft:

dy/dx

Wetende dat y, een functie van x is, levert dat het resultaat (als $\Delta$x naar 0 gaat) y'(x).......afgeleide functie van y(x)

2)
De kettingregel gebruiken we bij differentieren vaak als de functie te ingewikkeld is om 'in één keer' te differentieren. We gaan dan opzoek naar een 'relatief eenvoudige functie' binnen een andere 'relatief eenvoudige functie'.

Dus een deel van de functie, vervangen we door een losstaande functie. Dat is dus ook een soort substitutie bij de kettingregel tijdens het differentieren. Dat geldt de andere kant dus ook op. Daarvoor hebben ze de substitutiemethode uitbedacht.

tb
22-7-2016