WisFaq!

Wortel 5 is irrationaal, bewijs uit het ongerijmde

Ik moet voor een vak bewijzen met het bewijs uit het ongerijmde dat √5 irrationaal is. In dit bewijs moet ik aantonen dat al a² deelbaar is door 5, dat a dan ook deelbaar is door 5 (ik mag dat niet zomaar aannemen).
Ik heb mijn opdracht al drie keer ingeleverd, en alle drie de keren is het afgekeurd. Kan iemand mij alsjeblieft helpen?

Brownie
5-7-2016

Antwoord

Het zou helpen als je een afgekeurd argument zou opschrijven want het is lastig raden wat je docent als `geldig' bewijs accepteert van die deelbewering.
Je kunt bijvoorbeeld dit doen: je kunt $a$ schrijven als $5k+i$ (delen met rest); dan is $i$ dus gelijk aan $0$, $1$, $2$, $3$ of $4$.
Dan geldt $a^2=25k^2+10ki+i^2$ en als we dit door $5$ delen met rest dan gaat het eigenlijk alleen om de rest van $i^2$ bij deling door $5$. Die kwadraten zijn $0$ (rest $0$), $1$ (rest $1$), $4$ (rest $4$), $9$ (rest $4$) en $16$ (rest $1$).
Dus: als $a$ geen veelvoud van $5$ is dan is $a^2$ dat ook niet.

Of je kunt de stelling toepassen die zegt: als een priemgetal, $p$, een product, $ab$, deelt dan moet het een van de factoren delen.

kphart
5-7-2016