WisFaq!

Twee vazen model met achterstand

Alice en Bob hebben beiden een vaas met daarin een rode en blauwe knikker. Alice en Bob trekken tegelijk een knikker uit hun eigen vaas, noteren de uitkomst, en leggen de knikker weer terug in hun eigen vaas. Bob, galant als hij is, geeft Alice een voorsprong van +1 blauw en + 1 rood.
Het doel hierbij is dat Bob Alice inhaalt, d.w.z. na n trekkingen of meer blauwe, of meer rode trekkingen heeft gedaan.

Bijvoorbeeld: De uitkomstenruimte na twee trekkingen is (waarbij ' het verschil aangeeft in volgorde van dezelfde kleur): { (Abb), (Abr), (Arb), (Arr), (Bbb), (Bbr), (Brb), (Brr) }.
Bob moet tweemaal dezelfde trekken (omdat hij -1 achterstand heeft) EN Alice moet daarbij niet 1 (of meer) van dezelfde kleur trekken die Bob heeft getrokken, omdat Bob dan niet meer van eenzelfde kleur heeft.
De kans dat Bob 2x dezelfde kleur trekt is 2/4 = 1/2.
De kans dat Alice niet dezelfde kleur trekt als Bob is 2/8 = 1/4. De kans dat Bob na twee trekkingen meer blauwe of rode heeft getrokken (met -1 achterstand) is ¹/₂ · ¹/₄ = 1/8.

Nu de vraag:
1. Wat is de kans dat Bob meer kleuren trekt dan Alice (met a ($\ge$ 1) achterstand), met k ($\ge$ 2 per vaas) knikkers, en n ($\ge$ 2) trekkingen?
1.a Bestaat er een specifieke methode (naam?) / generieke formule om dit uit te rekenen?

Dank voor het lezen.

L.S.

Aanvullend: Belangrijk detail is dat bij k knikkers, iedere knikker een unieke kleur heeft in 1 vaas. De andere vaas is een spiegeling van het aantal en kleur van de knikkers.

Sebas
21-6-2016

Antwoord

Ik vermoed dat een algemene formule in termen van $a$, $k$ en $n$ nogal ingewikkeld zal zijn.

Bijvoorbeeld de kans dat Bob na $n$ beurten {b}niet voor ligt op Alice is de kans dat hun getrokken aantallen ten hoogste $1$ verschillen. Er zijn $2^{2n}$ mogelijke trekkingen en het aantal trekkingen zo dat aan het eind de aantallen ten hoogste $1$ verschillen is gelijk aan
$$
\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2 + 2\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\binom{n}{k+1}
$$dit sommen kun je met behulp van bekende identiteiten uitrekenen:
$$
\binom{2n}{n}+2\binom{2n}{n+1} = \binom{2n}{n-1}+\binom{2n}{n}+\binom{2n}{n+1}
$$Deel dit door $2^{2n}$ en je hebt de kans dat na trekkingen de aantallen van Alice en Bob dicht bij elkaar liggen; trek die kans van $1$ af om de kans te krijgen dat die aantallen $2$ of meer uit elkaar liggen. De kans dat Alice en Bob ten hoogste $a$ uit elkaar liggen is dan
$$
\frac1{2^{2n}}\sum_{k=-a}^a\binom{2n}{n+k}
$$NB dit is niet de kans dat $n$ het eerste moment is dat Bob op Alice voor ligt.Dat zal een vrij ingewikkelde combinatie van de bovenberekende kansen zijn.

Bij meer dan twee knikkers ligt de zaak nog wat gecompliceerder: er zullen n producten van multinomiaalcoëficiënten optreden waarvan de sommen niet echt mooi uit zullen komen.

kphart
27-6-2016