WisFaq!

Bepaal de coëfficiënt van x³

Beste

Kan u mij helpen met onderstaande opgave? Het zou door middel van een combinatie opgelost moeten worden, maar ik slaag er niet in...

Bepaal zonder volledige uitwerking de coëfficiënt van $x^3$ in:

$\eqalign{(2x+\frac{1}{x^2})^9}$

Alvast bedankt

Groetjes
Liese

Liese Coenen
18-6-2016

Antwoord

het binomium van Newton

${\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}$

Waarbij:

$\eqalign{
& a = 2x \cr
& b = \frac{1}{{{x^2}}} \cr
& n = 9 \cr} $

Kies $k$ zo dat geldt:

$\eqalign{{\left( {2x} \right)^{9 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = ... \cdot {x^3}}$

Bedenk dat je $k$ zo moet kiezen dat $9-k-2k$ gelijk aan 3 wordt. Het oplossen van $9-k-2k=3$ geeft $k=2$.

Je komt dan uit op:

$\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
9\\
2
\end{array}} \right) \cdot {\left( {2x} \right)^7} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = \\
36 \cdot 128{x^7} \cdot {x^{ - 4}} = \\
4608{x^3}
\end{array}$

De coëfficiënt van $x^3$ is $4608$. Helpt dat?

WvR
18-6-2016