WisFaq!

Bijzondere translaties

Opgave: Construeer een lijnstuk met gegeven lengte en richting, zodanig dat de eindpunten rusten op twee gegeven cirkels.

Mijn bevindingen: Het is meteen duidelijk dat er niet steeds een oplossing kan worden gevonden!
Ik opteer voor 2 niet snijdende cirkels (M,r1) en (N,r2). Door M resp. N teken ik een halfrechte, evenwijdig aan de richting waarop het vaste lijnstuk met lengte d ligt. Deze halfrechte snijdt (M,r1) resp. (N,r2), in A resp. B. Op MA resp. NB teken ik dan het lijnstuk met gegeven vaste lengte d. Het eindpunt van dat lijnstuk is dan C resp. D. Er geldt dan dat MC= r1+d resp. ND=r2+d.
Ik probeer dan via een gepaste translatie AC resp. BD te verschuiven tot dat het eindpunt C op de cirkel (N,r2) rust, resp. het eindpunt D op de cirkel (M,r1) rust, waarbij natuurlijk moet gelden dat AC resp. BD evenwijdig blijft aan de oorspronkelijke gegeven richting.
Ik stel ook vast dat A op (M,r1) resp. B op (N,r2) moet bewegen waardoor de stand van AD resp. BC voortdurend wijzigt. Bij een 'normale' translatie zou de stand van AD resp. BC niet mogen veranderen. Hierdoor slaag ik er niet meteen in, om telkens het rustpunt op de tweede cirkel te vinden.
Het is ook evident dat er maximaal 2 oplossingen kunnen zijn.

VRAAG: Hoe slaag ik er in om toch een gepaste translatie te vinden, waardoor toch het tweede rustpunt van het lijnstuk (met gegeven richting én lengte) kan worden geconstrueerd.

Bedankt bij voorbaat voor uw hulp!

De Racker Yves
16-6-2016

Antwoord

Hallo Yves,

Mijn eerste gedachte bij dit probleem is om de gehele cirkel (M,r1) te verplaatsen over de gegeven afstand in de gegeven richting. Dat kan in twee richtingen, zodat je twee beeldcirkels (M',r1) en (M'',r1) krijgt.

De beeldcirkel (M',r1) kan (N,r2) dan snijden in maximaal twee punten, eindpunten van het gevraagde lijnstuk. Hetzelfde geldt voor (M'',r1). In uitzonderlijke situaties als (M,r1) binnen (N,r2) ligt, kan dit leiden tot vier mogelijke lijnstukken.

Groet,

FvL
19-6-2016