WisFaq!

Gelijkzijdige driehoek met 3 cirkels in

De opdracht stelt dat in een gelijkzijdige driehoek met zijde 10 drie congruente cirkels getekend staan, die alle drie telkens twee van de zijden van de driehoek raken als ook de twee andere cirkels.

• Gevraagd is de straal van cirkels.

Ik heb de middelpunten van de cirkels verbonden, wat opnieuw een gelijkzijdige driehoek geeft (met zijde=2r). Ik trok vanuit 1 middelpunt de loodlijn op de overstaande zijde, zo kreeg ik een rechthoekige driehoek met 1 hoek 60° want een gelijkzijdige driehoek heeft drie hoeken van 60°.

Daaruit volgt de vergelijking cos60°=r/2r, want de aanliggende rechthoekszijde=straal en de schuine zijde is het lijnstuk tussen de middelpunten van 2 aanliggende cirkels.

Als ik die vergelijking uitreken:
cos 60°=r/2r
cos 60°= r(1/2)
2*cos 60°=r
1=r
Toch klopt dit antwoord niet. Wat doe ik fout? Moet ik het op een andere manier uitrekenen?

---

Driehoek met cirkels erin

---

De tekeningen komen wel redelijk overeen ja, maar die bedoelde ik niet. De hoek 30° is niet gegeven. Kan ik daarvan uitgaan ahv de gegevens die ik kreeg? Dan nog zie ik niet hoe ik de straal hieruit kan opmaken aangezien ik van geen enkele zijde van driehoek AME de lengte ken. Ik vroeg me ook echt af waar ik in mijn berekening fout ga.

Aniek
6-6-2016

Antwoord

Hallo Aniek,

In jouw eerste berekening zit een rekenfout. Je komt tot:

cos 60° = ^r/_2r

Wegdelen van r levert:

cos 60° = ¹/₂ (en niet r·¹/₂)

Zo kom je er niet ...

Beter is:
De hoek van 30° is niet gegeven, maar wel snel af te leiden: hoek A van je gelijkzijdige driehoek is 60°. De lijn AM is de bissectrice van deze hoek, want middelpunt M van de cirkel bij hoek A ligt op gelijke afstand van de benen van hoek A. Hoek EAM is dan de helft van 60°, dus 30°.

Dan gaan we verder: de zijde AE ken je inderdaad niet, maar je kunt wel een formule opstellen:

EM/AE = tan 30°, dus: AE = EM/tan 30° = r√3

AG wordt dan r√3 + r, dit moet gelijk zijn aan de helft van de zijde van jouw gelijkzijdige driehoek. En de lengte van deze zijde is gegeven!

Lukt het nu om r te berekenen?

GHvD
6-6-2016