WisFaq!

Parametrizering van de parabool verdeling

Ik heb de paraboolverdeling alsvolgt gedefiniëerd in Maple notatie:

f(x):=(6·c²·(-c·x²+b·x+a))/((4·a·c+b²)^3/₂);

met -¹/₂·(-b+√(4·a·c+b²))/c $<$ x $<$ ¹/₂·(b+√(4·a·c+b²))/c

Het gemiddelde en de variantie zijn respectievelijk als volgt:

Mean := ¹/₂·b/c;

and

Var := (1/20)·(4·a·c+b²)/c²;

Nu wil ik graag f(x) schrijven in termen van Het gemiddelde en de variantie. Is dat mogelijk? Ik ben me ervan bewust, dat als het kan, de drie parameters a, b en c ook geschreven moeten kunnen worden als twee parameters.

Ad van der ven
31-5-2016

Antwoord

Met kwadraat afsplitsen kom je een heel eind (laten we de verwachting en variantie even $m$ en $v$ noemen):
$$
-cx^2+bx+c = -c\left(x-\frac b{2c}\right)^2 +\frac{b^2+4ac}{4c}
$$Vervolgens de factor $6c^2/(4ac+b^2)^{\frac32}$ weer inbrengen:
$$
\frac{3c}{2\sqrt{4ac+b^2}} - \frac{6c^3}{(4ac+b^2)^{\frac32}}\left(x-\frac b{2c}\right)^2
$$en dat wordt
$$
\frac3{2\sqrt{20v}} - \frac6{(20v)^{\frac32}}(x-m)^2
$$Overigens is het niet onverwacht dat het aantal parameters omlaag gaat: als we de verwachting op nul stellen en $a-cx^2$ als dichtheid nemen dan geven de eisen "totale massa is 1" en "variantie is $v$" twee vergelijkingen voor de parameters $a$ en $c$, met een unieke oplossing en dus een parameter. Heen en weerschuiven om de verwachting te veranderen levert nog een extra parameter.

kphart
31-5-2016