WisFaq!

Eigenwaarde van A , eigenwaarde Ak

Hallo
Ik moet aantonen dat als lambda een eigenwaarde is van A, dat ook lambda^k een eigenwaarde is van A^k.
Ik heb hierbij twee vragen
· Is het juist als ik het volgende zeg:
Neem een willekeurige vector (x₁, ... , x_n) horend bij de eigenwaarde lambda. Dan mogen we per definitie schrijven:
A · (x₁, ... x_n) = lambda (x₁, ..., x_n)
Gezien deze matrix diagonaliseerbaar is (Klopt dit? mag ik hier van uitgaan? want ik dacht dat je eerst moest weten of A een basis heeft bestaande uit die eigenvectoren?)
mogen we zeggen dat AQ = QD met Q de matrix waarbij de kolommen bestaan uit de eigenvectoren van A en D de diagonaalmatrix bestaande uit de eigenwaarden op de diagonaal.
Gezien we dat mogen zeggen, schrijven we op:
A^k . Q = Q . D^k (wat een gevolg is)
Maar ik zit dus vast met die diagonaliseerbaarheid... In welke gevallen mag ik daar wel/niet van uitgaan... Welke voorwaarden moeten er voldaan zijn?
Super bedankt op voorhand.
mvg
Julie

Julie
29-5-2016

Antwoord

Het is goed tot "Gezien ...", er is verder niets gegeven en er zijn veel niet-diagonaliseerbare matrices die toch wel een paar eigenwaarden hebben.
Maar je hebt $Ax=\lambda x$, dus wat krijg je als je $A^2x$ gewoon uitrekent?

kphart
29-5-2016