WisFaq!

Asymptoten

Hallo, ik moet de asymptoten berekenen van:
f(x)= x+1+x²/(√x²+9)
Ik weet dat deze functie een schuine asymptoot heeft: y=ax+b
De a heb ik al berekend met de formule: lim(+oneindig)= f(x)/x. Zo is a=2
Helaas geraak ik niet verder voor de b. De b moet zo berekenen: b= lim(+oneindig)(f(x)-ax). Ik kom dan uit dat je de hoogstegraadstermen kunt schrappen. Helaas weet ik niet welke hoogstegraadstermen je anders moet nemen. Die onder de wortel? (Bij limieten naar oneindig mag je de hoogstegraadstermen nemen.)

danielle
21-5-2016

Antwoord

Het kost enige moeite maar met wat volharding kun je het verschil $f(x)-2x$ ombouwen tot iets waar je $b$ uit kunt halen.
Het verschil is
$$
1+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}-x
$$De $1$ hou je apart en de rest breng je onder één noemer:
$$
1+\frac{x^2-x\sqrt{x^2+9}}{\sqrt{x^2+9}}
$$als je nu teller en noemer met $x+\sqrt{x^2+9}$ vermenigvuldigt vind je na wat werk dit
$$
1+\frac{-9x}{\sqrt{x^2+9}(x+\sqrt{x^2+9})}
$$Kijk nu maar eens goed waar de hoogste macht van $x$ te vinden is.

kphart
21-5-2016