WisFaq!

Aantal manieren om N voorwerpen te verdelen over M posities

Goeiedag,
ik zoek een manier om 10 voorwerpen te verdelen over 4 plaatsen. Via een programmaatje kan ik er wel voor zorgen dat dit gebeurd, maar ik zou graag in theorie kunnen voorspellen hoeveel mogelijkheden er zijn. Anders geformuleerd, op hoeveel verschillende manier kan ik 10 (=N)schrijven als som van 4 (=M) gehele getallen, waarbij 0 ook mag gebruikt worden en waarbij de positie ook van belang is.
Vb. voor 10 (=N) in 3 (=M)posities :
0 + 0 + 10
0 + 1 + 9
0 + 2 + 8
...
1 + 0 + 9
...
10 + 0 + 0

Er blijken voor 3 posities 66 mogelijkheden te bestaan.
Proefondervindelijk kreeg ik de volgende eerste 8 resultaten :
1 - 1
2- 1
3 - 66
4 - 286
5 - 1001
6 - 3003
7 - 8008
8 - 19448

Er moet toch een algemene formule bestaan voor willekeurige N en M. Ook voor M N zou de formule moeten werken : vb. 10 voorwerpen over 15 posities : 1 vakje met 10 en 14 met niets of 10 vakjes met 1 voorwerp en 5 met niets, ...

Alvast bedankt,
David

David Declercq
7-3-2003

Antwoord

1) Ik zoek een manier om 10 voorwerpen te verdelen over 4 plaatsen.

2) Anders geformuleerd, op hoeveel verschillende manier kan ik 10 (=N)schrijven als som van 4 (=M) gehele getallen, waarbij 0 ook mag gebruikt worden en waarbij de positie ook van belang is

Dat is dus niet hetzelfde !!!

probleem 1 is makkelijk.

Ik heb n plaatsen en m voorwerpen om over deze plaatsen te verdelen (zoals je ziet heb ik de n en de m omgedraaid !, kwestie van afspraak om het totaal n te noemen). Duidelijk is dat m < n .

Als je n plaatsen hebt en je wil n objecten (noodzakelijk verschillend !!!) verdelen over deze n plaatsen dan gaat dat op n! manieren. Nu zijn er echter (n-m) lege plekken, hiervan is de volgorde niet van belang. Dat betekent dat die n! nu gedeeld wordt door (n-m)!

De formule is dus n!/(n-m)!

Probleem 2 is een stuk lastiger.
Dat niet in een standaard formule uit te drukken, mogen die cijfers ook hetzelfde zijn ??

Ik heb het vermoeden dat hier een deelprobleem formuleert waar een ander probleem achter schuilt. Het zou verstandig zijn als de hele opgave geeft.

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
7-3-2003