WisFaq!

Vergelijking oplossen

60x+30y+z=1000
x+ y+z=100
Gezocht naar euclidische vergelijking. Hoe verder ?

K Boonstoppel
15-5-2016

Antwoord

Ik neem aan dat je bedoelt dat x,y en z gehele getallen moeten zijn.
Ook dan is de eerste stap dat je een van de twee vergelijkingen zo herschrijft dat je die in de andere kunt substitueren. B.v.: z=100-x-y.
Dit levert:
60x+30y+100-x-y=1000, dus 59x+29y=900.
De vergelijking 59x+29y=900 is een lineaire diophantische vergelijking in twee variabelen. (Googelen op linear diophantine equation zou kunnen helpen.)
Veronderstel dat (b,c) een oplossing is van deze vergelijking dan is de algemene oplossing (b+29n,c-59n).
Immers 59·(b+29n)+29·(c-59n)-900=59b+59·29n+29·c-29·59n-900=59b+29c-900.

Voor het vinden van een oplossing (b,c) bestaan verschillende methoden.
Een aantal daarvan maakt gebruik van het uitgebreide algoritme van Euclides, maar dat hoeft niet.
In dit geval gaat het op zijn jan boerefluitjes ook vrij simpel:
Kies b=1, dan krijg je 59·1+29·c=900, dus 29c=900-59=841.
841 is 29·29 , dus c=841/29=29.
Dus de algemene oplossing is (1+29n,29-59n)

hk
15-5-2016