WisFaq!

Vraagstuk differentiaalvergelijking

Hallo
Ik krijg volgend vraagstukje niet opgelost:
De elasticiteit (aangeduid met Griekse letter čta), van de vraag naar een bepaald product als functie van de prijs wordt gedefinieerd door čta = p/V · dV/dp
De elasticiteit geeft dus aan met hoeveel procent de vraag V ongeveer zal veranderen als de prijs p met 1 procent verandert.
Veronderstel nu dat de vraagelasticiteit voor een bepaald product evenredig is met de prijs. Vind in dit geval de vraagfunctie V als je weet dat √(1) = v1 met v1 element van R gegeven.
Ik heb nu het volgende geprobeerd:
We hebben te maken met een beginvoorwaardeprobleem, dus eerst definieer ik de vraagfunctie V: R $\to$ R: p $\to$ √(p)
We weten ook dat
√(1) = v1 en V'(p) = čta
Gezien die vraagelasticiteit evenredig is met de prijs mag je schrijven: čta = k.p
En dan schrijf ik ten slotte:
V'(p) = čta = kp
V'(p) = p/V · d√(p)/dp = kp
de p's mag je schrappen
d√(p)/dp = k√(p)
=$\Rightarrow$ √(p) = V'(p)/k²
Ik heb het zo gedaan, maar wet absoluut niet of dit juist is en of ik daarmee alles heb opgelost?
Kan iemand me helpen?
Bedankt!
Mvg
Julie

Julie
13-5-2016

Antwoord

Je hebt vrij veel fout gedaan.
Om te beginnen: $V'(p)$ is hetzelfde als $\frac{dV}{dp}$ (twee manieren om de afgeleide weer te geven).
Er geldt dus niet dat $\eta=V'(p)$ er geldt
$$
\eta=\frac pV\cdot\frac{dV}{dp} = \frac pV\cdot V'(p)
$$
Per ongeluk kom je toch op de goede vergelijking
$$
\frac{dV}{dp}=k\cdot V(p)
$$
De `oplossing' $V(p)=V'(p)/k^2$ slaat nergens op want je weet nu nog steeds niet wat $V(p)$ als functie van $p$ is.
De oplossing van de differentiaalvergelijking
$$
\frac{dV}{dp}=k\cdot V(p)
$$
is toch op het college wel aan bod gekomen?
Je krijgt $V(p)=C e^{kp}$, waarbij $C$ uit de eis dat $V(1)=v_1$ kan worden berekend.

kphart
14-5-2016