WisFaq!

Maximale inhoud cilinder

Beste

In de klas behandelden we een probleem in verband met de maximale inhoud van een cilinder bij het omwentelen van een rechthoek rond de x-as. De rechthoek ligt met twee hoekpunten op de x-as. En er is gevraagd wat de waarde van b is zodat de inhoud van de cilinder maximaal is.

De afmetingen van de rechthoek zijn hoogte b en basis √(1-4b²)/b.

Indien ik de maximale oppervlakte van de rechthoek bepaal bekom is voor de waarde van b=0
Indien ik de maximale inhoud van de cilinder bepaal bekom ik b=√(2)/4

Hoe kan het dat ik een verschillende waarde van b uitkomt?
Waarom is de waarde van b bij het berekenen van de maximale oppervlakte van de rechthoek niet gelijk aan de waarde van b bij het bepalen van de maximale inhoud van de cilinder?

Groetjes
Liese

Liese Coenen
13-5-2016

Antwoord

Hallo Liese,

Weet je zeker dat je de afmetingen van de rechthoek goed hebt doorgegeven? Een rechthoek met zijden b en √(1-4b²)/b heeft een oppervlakte van √(1-4b²). De eerste afgeleide wordt nul bij b=0, maar bij deze waarde bestaat de rechthoek niet! Wanneer b naar nul nadert, naderen de zijden naar nul en oneindig. De maximale oppervlakte nadert tot 1, maar er is geen rechthoek denkbaar waarvan de oppervlakte daadwerkelijk 1 is.

De figuur hieronder toont de cilinder die ontstaat bij wentelen van deze rechthoek om de x-as:



Voor de inhoud van deze cilinder geldt:



Voor de afgeleide van de inhoud vinden we dan:



Om een maximum te vinden, stellen we de afgeleide gelijk aan nul. We vinden:



Ook nu vinden we geen oplossing. Ik denk dat er iets niet goed is gegaan met jouw gegevens ...

Je vraagt je ook af waarom je bij een maximale oppervlakte van een rechthoek niet automatisch de maximale inhoud van een omwentelingslichaam vindt. Dat kan ik laten zien met twee plaatjes hieronder. In het eerste plaatje heb ik het omwentelingslichaam getekend van twee vierkantjes naast elkaar. Uiteraard vind je twee gelijke cilinders:



Ik kan het tweede vierkantje ook op het eerste vierkantje plaatsen in plaats van ernaast. De twee vierkantjes hebben samen dezelfde oppervlakte als in de eerste situatie, maar het omwentelingslichaam krijgt een grotere inhoud:



Bij het wentelen legt het buitenste vierkantje (blauw) nu een veel langere weg af, zodat de inhoud die dit vierkantje 'vangt' nu veel groter is.
Conclusie: Delen van oppervlaktes die ver van de x-as liggen, leveren een grotere bijdrage aan de inhoud van een omwentelingslichaam. Een grote oppervlakte betekent dus niet automatisch een grote inhoud van een omwentelingslichaam!

GHvD
13-5-2016