WisFaq!

Eigenvectoren

Beste
Kunt u me helpen met de eigenvectoren van de volgende matrix te bepalen?

A = 1 2
    2 4

Ik heb al de eigenwaarden berekend; 0 en 5.

Daarna heb ik de eigenvectoren proberen uit te rekenen, maar wanneer mijn vgl gevormd is, zit ik vast.

Bij 0 heb ik x+2y =0
Bij 5 heb ik 2x-y=0 en -4x+2y=0

Volgens ons boek moeten we x of y vervangen door r of s om zo (x,y) = r (..;..) te verkrijgen, maar dit snap ik helemaal niet. Kunt u het me uitleggen?

Alvast bedankt!

Sarah
12-5-2016

Antwoord

Je eigenwaarden zijn goed.
Als je nu de vergelijking x + 2y = 0 neemt, dan kun je oneindig veel combinaties (x,y) kiezen die hieraan voldoen. In feite heb je namelijk te maken met een rechte lijn door de oorsprong.
Als je nu een willekeurige waarde kiest voor y die je (bijv.) r noemt, dan is x gelijk aan -2r.
En zo kun je via de parameter r alle paren die voldoen aan x + 2y = 0 weergeven als (-2r,r) of eventueel als r(-2,1)

Wat het tweede stel vergelijkingen betreft: als je goed kijkt, zie je dat er twee dezelfde vergelijkingen staan, zodat je alleen te maken hebt met 2x - y = 0.
Ook hieraan voldoen oneindig veel paren (x,y). Kies je nu een willekeurige waarde voor x, bijv.
x = t dan is y = 2t.
Je kunt alle oplossingen dus beknopt weergeven als (t,2t) of eventueel t(1,2)

MBL
12-5-2016