WisFaq!

Open verzameling en veranderen van dimensie

Hallo,

Volgende staat in mijn cursus:

Merk tot slot op dat een open verzameling in R2 haar open karakter verliest, indien ze wordt beschouwd als deelverzameling van R3. Geen enkele deelverzameling van R2 kan immers een driedimensionale bol bevatten. Dit geldt algemeen wanneer men van de ruimte Rn−1 naar de ruimte Rn overgaat.

Echter begrijp ik dit niet zo goed, waarom verliest die verzameling haar open karakter? als je nu een open schijf pakt in R2 dan is die toch ook open in R3? Omdat het nog steeds haar randpunten niet bevat?

Alvast bedankt,
Groeten Simon

Simon
12-5-2016

Antwoord

Beste Simon,

Kijk nog eens goed naar de definitie van een randpunt. Als je een (open) schijf niet in $\mathbb{R}^2$ maar in $\mathbb{R}^3$ bekijkt, dan gaat het niet meer om (precies) dezelfde punten die tot de rand behoren...

Beschouwd in $\mathbb{R}^2$ bestaat de rand van de schijf $\left\{ (x,y) \,\vert\, x^2+y^2 \le 1 \right\}$ uit alle punten op de cirkel $x^2+y^2=1$. Maar in $\mathbb{R}^3$ is de rand van de schijf $\left\{ (x,y,0) \,\vert\, x^2+y^2 \le 1 \right\}$ de schijf zelf!

mvg,
Tom

td
12-5-2016