WisFaq!

Gelijkvormigheid

Gegeven: een willekeurige driehoek ABC met k=|AB|, l=|BC|, m=|CA|. Laat uit A en B de loodlijnen AD en BE neer op BC en CA . Noem R en r de straal van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC en driehoek DEC . Nu zouden die 2 driehoeken congruent en zou de vergelijking r/R = |CD|/|AC| gelden ; hoe toon je dat aan ?? Is dat altijd zo dat die verhouding van de koordes gelijk is aan de verhouding van de stralen van de omgeschreven cirkels ?

berten
6-3-2003

Antwoord

Ik weet niet precies op welke ondergrond ik mag rekenen, maar gezien de vraag neem ik aan dat je het begrip koordenvierhoek kent. Maak bij het onderstaande verhaal wel eerst een tekening.
Omdat de hoeken ADB en AEB ieder 90° zijn, is vierhoek ABDE een koordenvierhoek. Dat betekent o.a. dat ÐDAB = ÐDEB, want ze staan op dezelfde zijde BD.
Omdat ÐDAB = 90° - ÐB (kijk in driehoek ABD), is ook ÐDEB = 90° - ÐB, en dan is daarvan weer het gevolg dat ÐCED = ÐB.
Maar dan is ÐCDE gelijk aan ÐA.
Men noemt deze stand van ED wel: antiparallel met AB.
In ieder geval staat nu dus vast dat de driehoeken ABC en DEC gelijkvormig zijn (en niet congruent, zoals je schrijft), want de drie hoeken hebben ze gemeenschappelijk.

Nu over de stralen van de omgeschreven cirkels.
Je kent vermoedelijk wel de zogeheten sinusregel, die in zijn uitgebreide versie als volgt luidt: in een driehoek ABC met hoeken a, b en g geldt dat a/sina = b/sinb = c/sing = 2R, waarbij R de straal is van de omgeschreven cirkel van de driehoek.
In driehoek ABC geldt dus: c/sing = 2R en in driehoek DEC geldt volgens dezelfde regel ED/sing = 2r.
Conclusie: R/r = c/ED = AB/ED, maar uit de eerder aangetoonde gelijkvormigheid volgt dat AB/ED = DC/AC

MBL
6-3-2003