WisFaq!

Derde graads functies zonder x² erin

De vergelijking x³ - 12x - 5 = 0 heeft drie oplossingen. Dat kun je aantonen zonder de grafiek te tekenen. Hoe kan dat als je geen x² erin hebt?

Ellen
6-3-2003

Antwoord

Je hebt gelijk als je zegt dat je zonder x² erin de nulpunten niet kunt berekenen, althans niet op een eenvoudige manier. Maar dat hoeft ook niet, als je naar de uiterste waarden van de functie op zoek gaat! Bekijk dus f'(x) = 3x² - 12 = 3(x - 2)(x + 2).
Nu zie je dat er bij -2 en bij 2 toppen in de grafiek zitten (de afgeleide wisselt daar van teken) en door vervolgens te kijken naar het verloop van de afgeleide (positief of negatief) weet je of de grafiek van f stijgt of daalt. Langs die weg kun je ontdekken hoeveel nulpunten er zijn, zonder ze expliciet te kennen.

MBL
6-3-2003