WisFaq!

Bepaalde integralen

Hoe los je bepaalde integraal van 3 naar -3 op van de breuk waarvan de teller x³ + 3x - 5 is en de noemer 2x. Ik kom op bepaald moment aan ln|-3| en dat kan toch niet opgelost worden?
Ik zit ook strop met bepaalde integraal van 1 naar 0 van
x² samen met e tot de 4x. Kan je door twee verschillende elementen substitueren, bv 4x door t en 2x van df(x) door s?

Frederik Vervloet
5-3-2003

Antwoord

Je zult de breuk moeten uiteenrafelen in de volgende componenten: x³/(2x) + 3x/(2x) - 5/(2x) en dus wordt het de integraal van ¹/₂x² + 1¹/₂ - ^2,5/_x
De primitieve wordt: ¹/₆x³ + 1¹/₂x -2¹/₂.ln|x| en hierin vul je eerst x = -3 in en vervolgens x = 3. Je schrijft namelijk dat je moet integreren 'van 3 tot -3' en dan is de ondergrens dus 3 en de bovengrens -3.
Je opmerking dat je vastloopt op ln|-3| snijdt geen hout. Dankzij de modulusstrepen wordt -3 immers omgezet in 3, en daarvan kan je toch probleemloos de logaritme nemen?! Tik het maar eens op je rekenmachine in; je zult geen foutmelding krijgen.

De tweede integraal kun je aanpakken met de partiële integratie. Schrijf x².e^4x als x².d[¹/₄e^4x] en pas dan de methode toe. Je krijgt:

¹/₄.e^4x.x² - ò ¹/₄.e^4x d[x²]

Deze laatste integraal is ò¹/₂.x.e^4x dx en dat is weer een integraal van dezelfde soort als waarmee je bgon, alleen is de macht van x één gezakt. Doe dus nogmaals de partiële integratie en de macht van x zal weer één dalen, dus helemaal verdwenen zijn. Dan ben je er. Probeer het eens.

MBL
5-3-2003