WisFaq!

Homogene differentiaalvergelijking

(25x-30y)dx + 9 ydy = 0

stel: y =tx en dy = tdx + xdt

(25x-30 tx)dx + 9 tx(tdx+xdt) = 0
(25x-30 tx)dx + 9t²xdx + 9tx²dt =0
(25x-30tx+9t²x) dx =(-9tx²)dt
(25-30t+9t²)xdx = (-9t)x² dt
(9t² -30t+25)xdx = (-9t)x² dt

1/x dx = -9t/(9t²-30t+25)
1/x dx = -9t/(3t-5)²

Dan (volgens mij breuksplitsen) maar hoe verder?
Het antwoord is: ln(3y-5x)=5x/(3y-5x)+c

van der steen
4-3-2003

Antwoord

Je probleem zit 'm blijkbaar in de volgende integraalvorm:
ò9t/[9t² - 30t + 25]dt, waarbij ik het minteken maar even weggelaten heb.
Het kan o.a. met de methode van substitutie. Stel namelijk de noemer van de breuk gelijk aan u, dus 9t² - 30t + 25 = u
Dit levert op: (18t - 30)dt = du en dus (9t - 15)dt = ¹/₂du.
Waarom deze stap? Omdat er in de teller van de breuk 9t staat, en die zie je nu terug in de laatste haakjesvorm.
Schrijf de breuk, met het oog op het voorgaande, als volgt:

9t/[9t² - 30t + 25] = [9t - 15 + 15]/[9t² - 30t + 25] en splits dit nu in twee nieuwe breuken. Je krijgt:

[9t - 15]/[9t² - 30t + 25] + 15/[9t² - 30t + 25]

Als je nu het integraalteken er weer voor zet krijg je:

ò(¹/₂)/u du + ò 15/(3t - 5)² dt en dit zul je wel kunnen integreren, denk ik.
Uiteraard moet in de primitieve ln(u) de variablele u ten slotte nog worden vervangen door 9t² - 30t + 25

MBL
4-3-2003