WisFaq!

Niet lineaire functies van meer veranderlijken

hoi,
Ik moet de volgende oppervlakken onderzoeken maar ik heb geen idee hoe ik dit aan moet pakken.
Onderzoek de oppervlakken: z=y²-x², z=6xy²-2x³-3x⁴, z=4xy(x²-y²) op:

1. symmetrieën
2. horizontale raakvlakken
3. zadelpunten (Is denk ik het makkelijkst met methode van hesse)
4. In welk punt is de richtingsafgeleide het grootst?

Ik hoop dat jullie kunnen helpen.
mvg.

wouter
4-3-2003

Antwoord

f(x,y)=y²-x²

1. Stationaire punten berekenen

los op:
df/dx=0 Þ -2x=0 Û x=0 is de yas
df/dy=0 Þ 2y=0 Û y=0 is de xas

Deze lijnen zijn kandidaat symmetrieassen (eigenlijk moet je denken aan een symmetrievlak loodrecht op het grondvlak deze lijnen). Het zijn hier ook inderdaad symmetrieassen (vervang x door -x en je krijgt dezelfde waarde. Idem als je y door -y vervangt)

Stationaire punten zijn punten die voldoen aan beide partiele afgeleiden zijn 0 alleen (0,0) dus.

2. Zijn de stationaire punten extrema ?

Kijk daarvoor in alle stationaire punten naar de waarde van de criteriumfunctie:
(d²f/dx²)·(d²f/dy²)-(d²f/(dxdy))²
In woorden: dubbele afgeleide naar x maal dubbele afgeleide naar y - het kwadraat van de gemengde dubbele afgeleide
Als de uitkomst > 0 is is het betreffende stationair punt een extreem.
In dit geval komt eruit -2·2 - 0² = -4 < 0 dus geen extrema (en geen horizontale raakvlakken)
(0,0) is een zadelpunt.

z=6xy²-2x³-3x⁴
df/dx=6y²-6x²-12x³
df/dy=12xy

stationaire punten (beide partiele afgeleiden 0 stellen) begin met de tweede:
y = 0 dan -6x²-12x³=0 dus x=0 of x=-¹/₂
x = 0 dan y = 0
stationaire punten (-¹/₂,0) en (0,0)
d²f/dx²=-12x-36x²
d²f/dy²=12x
d²f/(dxdy)=12y

(-¹/₂,0) levert een extreem op. Omdat d²f/dx² hier een negatieve uitkomst heeft betreft het hier een maximum (als je de bijbehorende z waarde uitrekent heb je ook het horizontaal raakvlak)

(0,0) levert de waarde 0 uit de criteriumfunctie. Nader onderzoek is dan noodzakelijk. Kijk daarvoor eens wat de functie doet langs de lijn y=x en/of langs y=-x en/of langs de x as (y=0)..... Zal vast een zadelpunt opleveren.

Wat je met richtingsafgeleide bedoelt is mij een raadsel !

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
4-3-2003