WisFaq!

Is deze functie puntsymmetrisch?

Hallo,
in de examenbundel staat een som over puntsymmetrie, voor zover ik me kan herinneren heb ik daar nog nooit iets over gehad, ik zou eigenlijk niet weten wat het is.
Zouden jullie mij deze som uit willen leggen en misschien ook wat puntsymmetrie eigenlijk is? Mijn leraar had het ook over gevallen dat het niet door (0,0) loopt ofzo, hoe moet je het dan berekenen?
(het is som 11 van h1 analyse)

f(x)= (e^x - 1)/(e^x + 1)
De grafiek van f lijkt puntsymmetrisch te zijn t.o.v. het punt (0,0).
Bewijs langs algebraische weg dat inderdaad voor elk getal a geldt: f(-a)= -f(a)

antw in examenbundel:
Puntsymmetrie: er moet dus gelden dat f(-a)= -f(a)
Vul a en -a in en kijk of de gelijkheid f(-a)= -f(a)klopt.

e^-a -1/ e^-a +1=-(e^a -1/ e^a +1)(hoe komen ze hierbij en wat doen ze???)
kruislings vermenigvuldigen
(e^-a -1)(e^a +1)= -(e^a -1)(e^-a +1)
e⁰ + e^-a - e^a -1= -e⁰- e^a + e^-a +1
e^-a - e^a=-e^a + e^-a klopt
Conclusie: f(-a)= -f(a)

Alvast hartstikke bedankt voor het uitleggen!!
Groetjes Anne

Anne
3-3-2003

Antwoord

Puntsymmetrisch betekent dat als je een grafiek rond de oorsprong 180 graden draait de beeldgrafiek hetzelfde is als de oorspronkelijke grafiek. Slordig gezegd betekent dat: als de grafiek rechts van de y as boven de x as loopt dan moet de grafiek links van de y as evenver beneden de x as lopen.

f(x)= (e^x - 1)/(e^x + 1)
De grafiek van f lijkt puntsymmetrisch te zijn t.o.v. het punt (0,0).
Bewijs langs algebraische weg dat inderdaad voor elk getal a geldt: f(-a)= -f(a)

Opmerking 1. Deze grafiek gaat door (0,0)

Opmerking 2. Begin eerst eens met te laten zien dat de functiewaarde bij x=-3 het tegengestelde is van de functiewaarde bij x=3.

Proberen we dat eerst maar eens:

f(-3)= (e^-3-1) / (e^-3+1)
Nu mag je alles in de teller en in de noemer vermenigvuldigen met hetzelfde getal. We nemen daarvoor e³ (bedenk dan dat e^-3·e³=1)
je krijgt dan [e³(e^-3-1)]/[e³(e^-3+1)]=
(1-e³)/(1+e³)=(-e³+1)/(e³+1) (volgorden gewoon omwisselen)

Nu is de functiewaarde bij x=3 : f(3)=(e³-1)/(e³+1)
Nu zie je dat de functiewaarden bij -3 en 3 precies het tegengestelde opleveren (de tellers zijn namelijk tegengesteld).

Dus bij 3 en -3 klopt het. Maar van die 3 en -3 heb ik eigenlijk helemaal geen gebruik gemaakt in de berekening. Met andere woorden: wat voor x=3 kan, kan ook voor x=37 of voor elk ander getal wat je maar wilt. Vervang je nu 3 door de (willekeurige) waarde a dan heb je het volledig bewijs.

ps...... wat haat ik die antwoordenboekjes.... zou het zelf ook niet snappen ;o)

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
3-3-2003