WisFaq!

Muziek en stemmingen

Ik doe mijn profielwerkstuk over muziek en wiskunde. Ik kreeg een opdracht 10 goede benaderingen te vinden voor het getal ²log 3/2. Met excel heb ik 1 breuk gevonden die hier redelijk goed bij past: 31/53. Nou is de vraag: Hoeveel toetsen per octaaf moet je hebben voor de beste benadering. Nou snap ik niet wat het tetal 2 log 3/2 daarmee te maken heeft. de benaderingen van breuekn die ik vond zijn getallen die dus allemaal dicht bij elkaar liggen, nou moet ik bij elke benadering aangeven hoeveel toetsen per octaaf je moet hebben en uitleggen waarom 12 toetsen per octaaf de beste keuze is. Ik snap niet hoe ik hier te werk moet gaan.
Bedankt

Lisa Dijkman
3-3-2003

Antwoord

Het probleem met toetsinstrumenten is dat je niet elke frequenties kan laten horen, maar alleen een discreet aantal (nl. waar de toetsen op afgestemd zijn). Op de normale piano zijn dit 12 tonen in één octaaf.
Je zou kunnen afvragen, waarom niet 11 of 13 of ...
Het blijkt dat je met 12 tonen in een octaaf de 'mooiste' intervallen redelijk zuiver kunt spelen.
De mooiste intervallen zijn die intervallen waarbij de verhouding tussen de frequenties uit te drukken zijn in eenvoudige getalsverhoudingen (dit heeft te maken met boventonen).
Bijvoorbeeld het meest elementaire interval is het octaaf. De verhouding van de frequenties bij een octaaf is gelijk aan 2:1. Dus bijvoorbeeld een toon van 440Hz en een toon van 880Hz geven samen een octaaf.
Een ander mooi interval is de kwint. Hierbij is de verhouding tussen de frequenties gelijk aan 3:2.

Op een piano is de verhouding tussen de frequenties van twee opeenvolgende toetsen (halve tonen) steeds 2^1/12:1.
Dit zorgt ervoor dat je na 12 toetsen precies een octaaf hebt.
(immers (2^1/12)¹² = 2¹ = 2)

Tussen een kwint zitten 7 halve tonen.
Op de piano is dus de verhouding van de frequenties van een kwint gelijk aan (2^1/12)⁷ = 2^7/12 1.49831.
Dit ligt dicht in de buurt van de verhouding 3:2 die een zuivere kwint heeft. Kwinten op de piano klinken dus redelijk zuiver.
Dat kwam omdat er een breuk a/12 was, waarvoor 2^a/b 3/2.

De breuk 31/53 die jij gevonden hebt is nog beter (2^31/53 = 1.49994). Dit komt overeen met een octaaf met 53 noten, waarvan de 31 op de kwint uitkomt. Dit levert zuiverder piano's op, maar ze zouden niet echt practisch zijn om op te spelen.

De vraag is dus, of er breuken zijn, waarvan de noemer in de buurt van de 12 ligt, die ook goede kwinten zorgt.

Voor meer informatie is er het volgend artikel: De juiste toon, de juiste stemming
Je kunt ook eens kijken in een boek over muziektheorie.

Zie meer vragen over wiskunde en muziek [http://www.google.com/search?q=wiskunde+en+muziek&restrict=Nederlands&sitesearch=wisfaq.nl]

wh
5-3-2003