WisFaq!

Limiet van een convergente rij

Voor mij studie moet ik het volgende bewijzen en ik heb geen idee, hoe ik dit moet aan pakken.

Zij zn een convergente rij uit C met limiet z.

Bewijs dat lim n - oo IznI=IzI
Bewijs dat lim n - oo I1/znI=I1/zI

Ook vraag ik me af waarom het belangrijk is dat het over een convergente rij gaat, geld dit niet voor elke rij ?

An

An
2-3-2003

Antwoord

Je wilt aantonen dat |z_n| onbeperkt dicht nadert tot |z| wanneer n ® ¥.
Je bent vast bekend met de ongelijkheid ||a| - |b|||a - b|.
Pas dit nu toe op de termen van de rij |z_n|
Je krijgt: |z_n| - |z|| |z_n - z|
Maar het rechterlid van deze ongelijkheid kun je onbeperkt klein maken i.v.m. het gegeven dat de rij z_n tot z nadert wanneer n ® ¥.

Wat de tweede limiet betreft: er geldt altijd |1/z_n| = 1/|z_n|
Je zult ook wel een stelling over limieten van quotiënten hebben geleerd. Combinatie van die stelling en het voorgaande brengt je dan naar het gezochte resultaat.

De convergentie van de rij is wel essentieel; als de rij niet convergeert, dan is er helemaal geen sprake van een limietgetal z, dus ook niet van |z|. Maar dan wordt de formulering van hetgeen je bewijzen wilde op slag zinloos.

MBL
2-3-2003