WisFaq!

Formule aantonen

Ik heb meerdere vragen voor jullie

Vraag 1 _
Bewijs de formule IzI = (z * z)

Vraag 2

Neem z1 = a + bi en z2 = c + di

Toon aan dat
_______ __ __
z1 * z2 = z1 * z2

en bewijs:

Iz1 * z2I = Iz1I * Iz2I door de formule
_
IzI = (z * z) te gebruiken.

Alvast bedankt!!!

inge
1-3-2003

Antwoord

In de eerste plaats denk ik dat de formule die je doorgeeft niet correct is. Staat er onder het wortelteken niet het product van z met zijn geconjugeerde z (met een streepje erboven?) Ik ga daar nu even van uit; heb ik het mis, kom dan maar gerust nog even terug.

Als we uitgaan van z = a + b.i dan is de modulus van het getal z gelijk aan |z| = (a² + b²).
Maar dan dus ook: |z|² = a² + b²
De vermenigvuldiging van z en zijn geconjugeerde levert op: (a + b.i)(a - b.i) = a² - ab.i + ab.i -b²i² = a² + b², dus |z|²

- -
z1 *z2 = (a - b.i)(c - d.i) = ac - ad.i - bc.i + bdi² = (ac - bd) - (ad + bc).i

Als je gewoon z1*z2 uitrekent krijg je ac + ad.i + bc.i + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc).i

Als je van dit laatste resultaat de geconjugeerde neemt, dan verandert de middelste + in een - en dat is precies wat we daarvóór gevonden hadden.

De derde stelling volgt uit hetgeen we als eerste bewezen.

MBL
1-3-2003