WisFaq!

Integreren naar arctan

Ik heb de volgende functie:
-3/2·[integraalteken] 1/(p²-p+1)·dp

het antwoord is: 3·arctan((2p-1)/(3)) + c

Ik begrijp niet hoe ze aan het antwoord komen want ik heb van alles geprobeerd. Kunnen jullie mij helpen?

Persoon X
1-3-2003

Antwoord

-3/2 voor het integraalteken laten we even achterweg. Je hoeft het resultaat van de integraal dan gewoon nog met -3/2 vermenigvuldigen en je bent er.

Je weet dat [arctan(x)]'= ¹/_{(x² + 1)}

Ik zet nu eerst een stap die niet écht nodig is, maar je bijgeleverde antwoord inspireert daartoe. Vermenigvuldig de teller en de noemer van de integrand namelijk eens met 4.
Dan krijg je: 4/(4p² - 4p + 4).
Waarom wordt deze stap gezet? Omdat (2p - 1)² gelijk is aan 4p² - 4p + 1, en hierin herken je al een stukje van de noemer! Schrijf de integrand nu als volgt:

4/[(2p - 1)² + 3]

Als er op de plaats waar nu het getal 3 staat, het getal 1 stond, dan waren we er bijna. Vergelijk het maar eens met de afgeleide van de arctan(x); daar staat ook een 1 op die plaats!
Om op de plaats van die 3 een 1 te forceren, halen we die 3 van de noemer buiten de haakjes.
Je krijgt: 4/[(2p - 1)² + 3) = 4/ 3[(^{(2p - 1)}/₃)² + 1] en daarmee komt het stuk arctan[(2p - 1)/3] uit je antwoord ineens in zicht.
De rest is nu nog een kwestie van wat met de getallen klungelen om alles in evenwicht te brengen, maar ik denk dat je daar zelf wel uit zult komen.

MBL
1-3-2003