WisFaq!

Over sinus en inverse

Hallo
Wie weet hoe ik zonder shift-sinus op mijn rekenmachine terug kom op een hoek in graden???
bv
cos 60° = 0,5
0,5 = ?????
op je rekenmachine staat cos^-1 maar hoe doe ik dat dan?

groeten

G. Bos
27-2-2003

Antwoord

Hoi,

Als ik het goed begrijp wil je weten hoe die inverse cosinus, -sinus en -tangens werkt (m.a.w. welke bewerking voert het rekenmachine uit, en kan ik dat zelf ook?).
De inverse bewerking van de sinus, -cosinus en -tangens wordt aangeduid met de arcsinus, arccosinus en arctangens (ookwel boogsinus, boogcosinus en boogtangens genoemd) omdat de inverse van a bijvoorbeeld a^-1 = ¹/_a en hiermee zou gedacht kunnen worden dat bijvoorbeeld inv sin(x) = ¹/_sin(x) hetgeen niet zo is!

Om nu zelf deze boogsinus, ... te berekenen moet je een beroep doen op een benadering (soms een exacte standaardwaarde, soms niet). Zo'n benadering kun je m.b.v. een reeksontwikkeling doen. Voorbeelden van reeksontwikkelingen zijn Taylor en Maclaurin-reeksen, maar gelukkig bestaat er internet en hoef je niet zelf gaan uitdokteren welke functie een benadering van de inverse goniometrische functie geeft (het rekenmachine maakt trouwens ook gebruik van een benadering).
Op InverseCosine onderaan zie je cos^-1x = ¹/₂p - x - (1/6)x³ - ... staan, die Maclaurin-reeks geeft je de benadering van de arccos, de pagina InverseSine geeft je de benadering van de arcsin. En tot slot de arctan op InverseTangent.
Voor de arccosec en arcsec kun je op dezelfde site zoeken, maar die zijn minder van belang.

Wat wel héél belangrijk is, is het domein van de arcsin, arccos en arctan. Zoals je weet is het bereik van de sinus en de cosinus [-1,1] (de y-coördinaat wordt maximaal 1 en minimaal -1) en de tan heeft asymptoten bij de nulpunten van cosinus want de tan = sin/cos.
De inverse functies zijn dan ook alleen gedefinieerd voor het bereik van de 'normale' functies. De arcsin(x) en arccos(x) zijn gedefinieerd voor x Î [-1,1] en de arctan(x) is gedefinieerd voor elke x, maar heeft twee horizontale asymptoten y = ¹/₂p en y = -¹/₂p.

P.S. Indien je een computerprogramma gebruikt of zelf een reeksontwikkeling gebruikt krijg je een uitkomst in RADIALEN, indien je deze uitkomst terug in GRADEN wilt zetten moet je de uitkomst in radialen eerst vermenigvuldigen met 180 en daarna die uitkomst delen door pi. Andersom van GRADEN naar radialen moet je eerst vermenigvuldigen met pi en delen door 180.
Is 't zo wat duidelijker? Indien er nog vragen zijn, stel gerust opnieuw een vraag...

Groetjes,

Davy
28-2-2003