WisFaq!

Vectorruimten

hallo;
We kregen veel oef. voor huiswerk en deze twee begrijp ik niet echt, Help je me op weg aub????
-Neem een deelverzameling van de verz. tot basis van de reële vectorruimte R,R³,+
F={(2,-3,-5);(0,1,-2);(3,3,-6);(0,0,-1)}

- Geg.:A= ((1,-3,2);(2,4,1);(3,1,5))
a) bewijs dat A een geordende basis van de reële vectorruimte R,R³,+ is
b)Schrijf (5,-12,13)als lineaire combinatie van de vectoren van A
c)Bepaal de coördinaat van (5,-12,13) t.o.v. die geordende basis A
d) Als co(x,y,z) = (16,-1,4) t.o.v. die geordende basis A, bereken dan x,y,z
Dank bij voorbaat en gelieve vandaag nog te beantwoorden.

Jean
27-2-2003

Antwoord

Voor de driedimensionale ruimte bestaat een basis niet uit 4 maar slechts 3 vectoren. Voorwaarde is natuurlijk wel dat die drie vectoren lineair onafhankelijk zijn en geen nulvectoren zijn. Je moet uit het gegeven viertal dus een drietal selecteren waar geen afhankelijke exemplaren inzitten.
Het duo (0,1,2) en (0,0,-1) zijn dan zeker in orde, want omdat het middelste kental van de laatstgenoemde 0 is, kun je de eerstgenoemde vector nooit zó vermenigvuldigen dat de vectoren gelijk worden. Meetkundig wil het niet meer zeggen dan dat deze 2 vectoren niet langs dezelfde lijn vallen. Je kunt het zelfs tekenen!
Als derde vector kun je nu bijv. (3,3,-6) nemen, want deze vector is zeker geen combinatie van de eerder gekozen vectoren. Let maar op de eerste kentallen van die twee en bedenk dat ieder veelvoud van 0 weer 0 is en dus nooit 3 kan worden.

Wat je met een geordende basis bedoelt is mij onbekend.

Stel (5,-12,13) = x(1,-3,2) + y(2,4,1) + z(3,1,5)
Dat levert het volgende stelsel op:

x + 2y + 3z = 5
-3x + 4y + z = -12
2x + y + 5z = 13

Verdubbelen van vergelijking 1 en dan nummer 2 er af trekken geeft 5x + 5z = 22

Vergelijking 1 minus het dubbele van vergelijking 3 geeft 3x + 7z = -21

Combinatie van deze twee vergelijkingen (waaraan y ontbreekt) geeft z = 39/20 en x = 49/20 en dan weer invullen in één van de vergelijkingen uit het stelsel geeft tenslotte y = -33/20

Conclusie: (5,-12,13) = (49/20,-33/20,39/20) ten opzichte van de gegeven basis.

Reken ten slotte uit 16(1,-3,2) + -1(2,4,1) + 4(3,1,5) en je hebt de getallen x, y en z.

PS. de aansporing om vooral vandaag nog te antwoorden kan ook averechts uitwerken!

MBL
27-2-2003