WisFaq!

Asymptoten en extremen

Wat zijn nu precies assymptoten en extremen? En hoe bereken je die?
Wat zijn de assymptoten en de extremen van:
f(x)=(x-1).(x-2).(x-3) en g(x)=1¹/₂x²-1¹/₂-3.

Martijn
25-2-2003

Antwoord

Martijn,

Je kunt drie soorten asymptoten hebben. Je kunt horizontale, verticale en schuine asymptoten hebben. Een asymptoot zelf is een rechte en op oneindig nadert de functie de asymptoot, maar de functie kan nooit de asymptoot snijden. Extremen zijn de minima en maxima van de functie.

Laten we nu even de eerste functie nemen.
Deze is f(x)=(x-1)·(x-2)·(x-3).

We vereenvoudigen eerst die functie door hem uit te rekenen. We krijgen dan f(x)=x³-6x²+11x-6.

Extrema
Om te weten waar de extremen zich bevinden, berekenen we eerst de afgeleide.

De eerste afgeleide wordt:
f'(x)=3x²-12x+11

Als we nu de afgeleide aan nul gelijk stellen en hieruit de nulpunten berekenen weten we op welke plaatsen we extremums hebben. Met behulp van een tekenverloop van de afgeleide kan je bepalen of het een maximum of een minimum is.

Verticale asymptoten
Om de verticale asymptoten te zoeken ga je alsvolgt te werk. Je zoekt de nulpunten van je noemer (als er geen noemer staat, is je noemer 1 en heb je geen nulpunten).

Dit punt is nu in de volgende twee gevallen een verticale asymptoot:

Als dit nulpunt geen nulpunt is van de teller, dan is het gevonden punt een verticale asymptoot.

Stel het gevonden nulpunt is x=a. En a is wel een nulpunt van de teller. Als de graad van (x-a) groter is in de noemer dan is x=a een verticale asymptoot.
Om te kijken welke graad x-a heeft, ontbind je best in factoren.

Horizontale asymptoten
De horizontale asymptoot vind je als volgt:

Eerst en vooral: horizontale asymptoten zoeken, heeft alleen zin als de graad van je teller kleiner of gelijk is aan de graad van je noemer.

Je berekent de limiet van f voor x gaande naar + oneindig.
De waarde die je hiervoor uitkomt, is je horizontale asymptoot.
En natuurlijk bereken je ook de limiet van f voor x gaande naar -oneindig.
Deze waarde is ook een horizontale asymptoot.

Scheve asymptoten
Schuine asymptoten berekenen is iets omslachtiger.

Je berekent de lim van f(x)/x voor x gaande naar + oneindig (ook voor x gaande naar - oneindig). Deze waarde noem je a.

Daarna bereken je ook de lim van f(x)-a·x voor x gaande naar + oneindig (en ook voor x gaande naar - oneindig). Deze waarde noem je b.

Je schuine asymptoot is nu y=ax+b

Deze informatie zou voldoende moeten zijn om je twee functies op te lossen. Zelf zal ik ze niet oplossen, want jij zelf hebt daar niets aan. Dus de eer is aan u om ze op te lossen.

Groetjes en nog veel wiskundeplezier.

Zie Maximum- en minimumvraagstukken [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=394]

gv
26-2-2003