WisFaq!

Kans dat derdegraadsvergelijking meer dan 1 oplossing heeft

Ik ben een PO aan het maken over Continue Kansproblemen van het TUE aansluitingsproject. Nu moet ik de kans berekenen dat de derdegraadvergelijking x³-3ax+b=0 meer dan 1 oplossing heeft, als a en b willekeurig uit [-1,1] gekozen worden. Ik hoopte dat er net zoiets bestond als de discriminant maar ik snap echt niets van de formule van Cardano en ik weet al helemaal niet hoe ik hem in deze opgave zou moeten toepassen! Willen jullie me aub een stukje op weg helpen!

Elise
25-2-2003

Antwoord

Je hoeft de oplossingen natuurlijk niet echt uit te rekenen.

Ik denk aan het volgende:

Het is een derdegraads functie. Wil deze functie meer dan een nulpunt kunnen hebben dan moet die functie eerst stijgen daarna dalen en dan weer stijgen. Derhalve is het nodig dat de afgeleide twee keer 0 wordt.
de afgeleide is 3x²-3a= 3(x²-a)
In ieder geval hoef je dus voor negatieve a niet meer te kijken. Zij dus a positief met 0 < a 1:
Het maximum van de functie zit bij het kleinste nulpunt van de afgeleide namelijk -a: de functiewaarde wordt hier 2aa + b en dit moet 0 zijn
Het minimum van de functie zit bij het grootste nulpunt van de afgeleide namelijk +a: de functiewaarde wordt hier -2aa + b en dit moet 0 zijn
Dit is oplosbaar (denk aan a=x en b=y en probeer eens het gebied te tekenen dat aan je voorwaarden voldoet). Als je daar niet uitkomt, horen we het wel weer.
Ik hoop dat ik in de goede richting zit. Ik denk het wel maar je krijgt geen garantie

Met vriendelijke groet


JaDeX

jadex
26-2-2003