WisFaq!

Stelling van Graaf van Buffon

Mijn vraag:

Als je allemaal driehoeken in elkaar tekent dan neemt de oppervlakte met 4 af en de omtrek met 2. Nu wil ik hier een formule voor weten voor de oppervlakte (A, van het engelse woord area) of de omtrek (P, van het Griekse woord perimeter) van de N^e die ik getekend heb, gegeven dat de oppervlakte / omtrek van de begin driehoek A0 / Po is.

Wendy
23-2-2003

Antwoord

Ik denk dat je bij het in elkaar tekenen van de driehoeken uitgaat van de middens van de zijden.
Dan is de oppervlakte van één van de driehoeken 1/4 van de oorspronkelijke. En de omtrek is gehalveerd.
De gevraagde formules kan je afleiden door de regelmaat onder woorden te brengen:

De begindriehoek heeft oppervlakte A₀
De tweede driehoek, A₁, heeft opp. ¹/₄ x A₀
De derde driehoek, A₂, heeft opp. ¹/₄ x ¹/₄ x A₀
Je ziet: voor elke volgende moet je opnieuw met ¹/₄ vermenigvuldigen.
De n-de wordt dan: A_n= (¹/₄)ⁿxA₀

De omtrek gaat op dezelfde manier:
De beginomtrek is P₀
P_n= (¹/₂)ⁿx P₀

Dat het opdelen van driehoeken in kleinere driehoeken ook anders uit kan pakken, kan je nagaan op:

• Probleem van Fagnano

Emma
24-2-2003