WisFaq!

Lineaire transformaties

Hoe zoek je de transformatiematrix van een lineaire transformatie die elke punt van R² tov een gegeven rechte met een parameter? (bv. y=mx)

jo
23-2-2003

Antwoord

Hoi,

Ik veronderstel dat je vraagt hoe de transformatiematrix eruit ziet van een spiegeling rond een gegeven rechte (door de oorsprong).

Neem een punt u(x₀,y₀). Noem het beeld na spiegeling v(x₁,y₁). We hebben als eigenschappen:
- het midden van [uv] ligt op rechte L met vergelijking y=m.x
- uv staat loodrecht op L.

Dus:
(y₀+y₁)/2=m.(x₀+x₁)/2 of: m.x₁-y₁=-m.x₀+y₀ (1)
en:
(y₀-y₁)/(x₀-x₁).m=-1 of m.(y₀-y₁)+x₀-x₁=0 of x₁+m.y₁=x₀+m.y₀ (2)

De vergelijking (1) en (2) vormen een stelsel waaruit je x₁ en y₁ kan berekenen in functie van x₀ en y₀.

Meer bepaald:
A.v=B.u met A=((m,-1),(1,m)) en B=((-m,1),(1,m)). Det(A)=m²+1, zodat voor alle reële m A^-1 bestaat (aan jou om die te berekenen...). Je kan dan C=A^-1.B berekenen zodat v=C.u. Dit is dan de matrix die je zoekt.

Groetjes,
Johan

andros
25-2-2003