WisFaq!

2de orde dv

Ik moet de formule m·(d²u)/(dt²) + C· u = 0 differentiëren tot een functie van u. Ik weet zelf niet hoe dit moet, kan iemand helpen?
gr Max

max
9-5-2016

Antwoord

Ik neem aan dat je de differentiaalvergelijking op moet lossen. Een differentiaalvergelijking heeft als oplossingen altijd functies. Aan je notatie te zien gaat het hier om de uitwijking van een veer, is $m$ de massa van het object en $C$ is de veerconstante.
Je kunt eerst eens naar wat speciale gevallen kijken, bijvoorbeeld $m=1$ en $C=1$. Dan zoeken we dus een functie $u$ met de eigenschap dat zijn tweede afgeleide gelijk is aan minus-de-functie-zelf: er staat dan immers $u''+u=0$ of $u''=-u$. Dergelijke functies ken je wel: $\sin t$ en $\cos t$ bijvoorbeeld. Door de vorm van de differentiaalvergelijking kun je zien dat elke functie van de vorm $a\sin t+b\cos t$ ook een oplossing is. Wat is moeilijker te bewijzen is is dat je zo alle oplossingen krijgt.
Voor willekeurige $m$ en $C$ krijg je $u''=-\frac CMu$; dan kunt je met de kettingregel wel nagaan dat je $\sin\sqrt{\frac CM}t$ en $\cos\sqrt{\frac Cm}t$ oplossingen zijn. De link hieronder vertelt wat meer over differentiaalvergelijkingen.

Zie Wikipedia: differentiaalvergelijking [https://nl.wikipedia.org/wiki/Differentiaalvergelijking]

kphart
9-5-2016