WisFaq!

limiet sin(pi·x)(x+1)

Hallo Wisfaq
Ik reken een voorbeeld na,maar kom niet op het gegeven antwoord. Graag enige hulp
Ik weet,dat sin(bx) ontstaat uit sin(x)door deze te vermenigvuldigen met 1/b tov de Y-as,met b groter dan o
(in het volgende voorbeeld)

Bepaal de limiet voor x gaat naar -1(bv. -1,001 en -0,999
van y=( sin(pi·x))/(x+1)
sin(1/3,142.-1,001),vervolgens delen door(-1,001+1)
volgens mijn berekening komt dit uit op -313,2
Het antwoord moet zijn -3,1416 (d.i -pi)
Wat gaat er bij mij niet goed?
bvd
Joep

Joep
4-5-2016

Antwoord

Beste Joep,

Er staat "sin(pi*x)" maar jij vult "sin(1/pi*x)" in, daardoor komt die berekening op een vreemde waarde uit. Die vermenigvuldiging met een factor $b$ kan wel een bepaalde meetkundige interpretatie hebben, maar het blijft in die formule wel een vermenigvuldiging met $b$ en geen deling door $b$...

Je moet dus niet
$$\frac{\sin\left( 1/3{,}142 \cdot (-1{,}001) \right)}{-1{,}001 + 1}$$laten uitrekenen maar
$$\frac{\sin\left( 3{,}142 \cdot (-1{,}001) \right)}{-1{,}001 + 1}$$Dat blijft wel een benadering en je neemt voor $\pi$ best wat meer cijfers na de komma om een nauwkeurige schatting te krijgen.

Om de limiet wiskundig 'netjes' uit te rekenen, kan je gebruikmaken van het feit dat sin(a)/a naar 1 gaat als a naar 0 gaat.

Een beetje herschrijven: als x naar -1 gaat, stel dan y = x+1 zodat y naar 0 gaat:
$$\lim_{x \to -1} \frac{\sin(\pi x)}{x+1} =
\lim_{y \to 0} \frac{\sin(\pi y - \pi)}{y} =
\pi \lim_{y \to 0} \frac{-\sin(\pi y )}{\pi y} = -\pi$$mvg,
Tom

td
4-5-2016