WisFaq!

Vectoren

Hoi,
OK, hoe bewijs je dit.
1)
De zwaartelijnstelling : a²+b²=2m+2c²
waarbij m een willekeurige zwaartelijn is.


2)
De hoogtelijnen zijn concurrent
De zwaartelijnen zijn concurrent
De middelloodlijnen zijn concurrent
Bewijs dat deze punten colliniair zijn.
Ik denk dat je dit door middel van vectoren kan, niet?
Anders met de eigenschappen van loodrechte stand...

Dank je,
Ruben

PS:Wat is 'klasieke vectoren meetkunde'

Ruben
22-2-2003

Antwoord

De stellingen die je vraagt vallen in de traditionele vlakke meetkunde en niet direct in de analytische meetkunde of vectormeetkunde (al kun je daar natuurlijk ook vaak mee uit de voeten).

Stelling 1 ken ik niet in deze formulering en eerlijk gezegd lijkt het me ook een onmogelijke stelling. Je schrijft dat m een willekeurige zwaartelijn is, dus dan kan m elk van de drie zwaartelijnen voorstellen. Maar omdat a, b en c vastliggen, volgt hieruit dat m altijd dezelfde waarde moet hebben. De 3 zwaartelijnen zouden dus altijd even lang zijn, hetgeen niet is vol te houden.

Ik vermoed dat je een stelling moet bewijzen over de lengte van de een zwaartelijn, uitgedrukt in de zijden van de driehoek. Laat m de zwaartelijn zijn vanuit punt C en laat M het midden zijn van zijde AB.
Bij M ontstaan nu twee hoeken die samen 180° zijn en dus een tegengestelde cosinus hebben.
Pas nu zowel in driehoek AMC als MBC de cosinusregel toe.
Je krijgt: b² = m² + ¹/₄c² - 2.¹/₂c.m.cos$\angle$M₁ en ook c² = m² + ¹/₄c² - 2.m.¹/₂c.cos$\angle$M₂

Vanwege de tegengesteldheid van de cosinussen tel je deze twee gelijkheden nu op. Dat geeft: b² + c² = ¹/₂c² + 2m² en daarmee heb je m² (dus m) uitgedrukt in de lengtes van de drie zijden a, b en c.

Voor je tweede stelling moet ik je verwijzen naar een boek over de vlakke meetkunde. Raadpleeg daar met name de stelling van de Ceva en je kunt in één klap laten zien dat de hoogtelijnen, zwaartelijnen en middelloodlijnen alle door één punt gaan. Dat die drie punten dan collineair zijn moet je opzoeken onder 'de rechte van Euler'. De bewijzen van deze stellingen zijn best gecompliceerd, vergen nogal wat plaatjes en daar leent dit medium zich niet zo gemakkelijk voor.

MBL
22-2-2003