WisFaq!

Goniometrische vergelijkingen

Hoi allemaal,
ik ben nu op school bezig met het hoofdstuk goniometrische vergelijkingen en dit begrijp ik (denk ik) helemaal tot nu toe. Ik zit nu bij het stuk: vergelijkingen die symmetrisch zijn in sinx en cosx. Het komt erop neer dat ik niet begrijp wat ze hiermee bedoelen en dat ik ook niet snap hoe ik de bijbehorende oefening moet oplossen.

Zou iemand de volgende oefening kunnen oplossen zodat ik deze methode ook kan toepassen op de andere oefeningen?
Alvast bedankt!
Sarah

cos⁶x + sin⁶x = 5/8

Sarah
30-4-2016

Antwoord

Het idee bij dit soort sommen is dat je twee dingen tegelijk doet: algebra en gonio. De algebraïsche kant is bijvoorbeeld deze formule
$$
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
$$Vul in $a=\cos^2x$ en $b=\sin^2x$:
$$
\cos^6x+\sin^6x=(\cos^2x+\sin^2x)(\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x)
$$Dat maakt de vergelijking eenvoudiger: $\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x=\frac58$. Dan weer wat algebra
$$
a^2-ab+b^2=a^2-2ab+b^2+ab = (a-b)^2+ab
$$en dus
$$
\cos^4x-\cos^2x\sin^2x+\sin^4x =(\cos^2x-\sin^2x)^2+\cos^2\sin^2x
$$Dan weer gonio: $\cos^2x-\sin^2x=\cos2x$ en $2\sin x\cos x=\sin2x$ de vergelijking wordt dus
$$
\cos^22x+\frac14\sin^22x=\frac58
$$Nu nog een keer $\cos^22x+\sin^22x=1$ gebruiken en er komt
$$
\frac34\cos^22x+\frac14=\frac58
$$

kphart
30-4-2016